Dualidad de minimización de costes y maximización de beneficios

Question

La empresa trata de maximizar los beneficios $\Pi$ \begin{align} \max_{K,L}\{\Pi(K,L) = F(K,L) - RK - wL\} \end{align} donde $F$ es la función de producción lineal homogénea, $R$ la tasa de alquiler del capital $K$ y $w$ la tasa de alquiler (salario) de la mano de obra $L$ . Los FOC vienen dados por \begin{align} \Pi_K &= 0 \Leftrightarrow R = F_k\\ \Pi_L &= 0 \Leftrightarrow w = F_L. \end{align} Nota 1 de la página 33 de Acemoglu (2009) nos dice que los FOCs también pueden derivarse mediante la minimización de costes.

Siendo (2.6) y (2.7) $w=F_L$ y $R=F_K$ respectivamente. La empresa trata de minimizar los costes \begin{align} &\min_{K,L}\{RK + wL\}\\ \text{s.t.}~~& F(k,L) = Y \end{align} donde $Y$ es un nivel de salida. Configurar el lagrangiano \begin{align} \mathcal{L} = RK + wL + \lambda(F(K,L) - Y) \end{align}

Los FOC vienen dados por \begin{align} \mathcal{L}_K = 0& \Leftrightarrow R + \lambda F_K = 0\\ \mathcal{L}_L = 0& \Leftrightarrow w + \lambda F_L = 0\\ \mathcal{L}_\lambda = 0& \Leftrightarrow F(K,L) - Y = 0 \end{align}

• No veo, cómo podemos conjeturar $R = F_K$ y $w = F_L$ de esas condiciones?

Answer 1

Si $F(K,L)$ es una función homogénea de grado uno, entonces también lo es $$ \Pi(K,L) = F(K,L) - R \cdot K - w \cdot L. $$ Esto se deduce directamente de la definición de homogeneidad. (Se puede encontrar una definición de función homogénea aquí .) Esto significa que si existe un beneficio máximo es cero. En caso contrario, se podrían aumentar todos los insumos, por ejemplo, en un 100%, con lo que aumentarían tanto los ingresos como los costes y, por tanto, los beneficios en un 100%. Así que $\Pi(K^*,L^*) = 0$ .

Por Teorema de la función homogénea de Euler tenemos $\forall K,L$ :

\begin{align} \Pi(K,L) &= \Pi_K(K,L) \cdot K + \Pi_L(K,L) \cdot L \\ \Pi(K,L) &= (F_K(K,L) - R) \cdot K + (F_L(K,L) - w) \cdot L. \end{align}

Desde $\Pi(K^*,L^*) = 0$ tenemos $$ -(F_K(K^*,L^*) - R) \cdot K^* = (F_L(K^*,L^*) - w) \cdot L^* $$ Sabemos que $K^*,L^* \geq 0$ Así que si podemos demostrar que los signos de $(F_K(K^*,L^*) - R)$ y $(F_L(K^*,L^*) - w)$ partido habremos demostrado que son iguales a cero. De lo contrario, un lado de la ecuación sería negativo y el otro positivo. De la minimización de costes se tiene \begin{align} R + \lambda F_K & = 0\\ w + \lambda F_L & = 0. \end{align} Si $\lambda >1$ entonces \begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & < 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & < 0, \end{align} si $\lambda =1$ entonces \begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & = 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & = 0. \end{align} y si $\lambda <1$ entonces \begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & > 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & > 0, \end{align}

por lo que los signos sí coinciden, de ahí que \begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & = 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & = 0. \end{align}