¿Cómo puedo representar a los jugadores con información diferente dados los rangos de elección continuos?

Question

Debo representar en forma extendida (de árbol) el siguiente problema de Teoría de Juegos:

Un comité de expertos debe recomendar una política $a_1\in \mathbb R$ al Congreso. El Congreso elegirá entonces una política $a_2\in \mathbb R$ . El resultado de esta política es incierto y está determinado por $x = a_2 + w$ , donde $w$ es una variable aleatoria distribuida uniformemente entre $[0,1]$ elegidos por el jugador "natural". Los expertos conocen el valor de $w$ pero los congresistas sólo son conscientes de que $w\sim U[0,1]$ . Los beneficios para los congresistas y los expertos vienen dados por $-x^2$ y $-(x - 0.5)^2$ respectivamente.

Así, la secuencia del juego es la siguiente: el jugador de naturaleza "elige" $w$ Entonces los expertos eligen un $a_1$ recomendar, y finalmente los congresistas eligen $a_2$ la política real.

Mi problema es el siguiente: No encuentro la forma de representar el hecho de que los expertos conozcan el valor del continuo $w$ pero los congresistas no.

Answer 1

Una forma de representar el árbol del juego (suponiendo que el congresista observa la elección del experto):

El árbol del juego se dibuja utilizando LaTeX con istgame paquete.

\documentclass{standalone}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{istgame}

\begin{document}

\NewDocumentCommand\vpay{m}
{ \begin{matrix} #1 \end{matrix} }

\begin{istgame}[scale=2,font=\scriptsize]
\cntmdistance{20mm}{70mm}{50mm}
\istrootcntm(0)[chance node]{Nature}
  \istb{w}[r]  \istb{w'}[r]         \endist
\cntmdistance{20mm}{40mm}{25mm}
\istrootcntm(1)(0-1)<-170>{Expert}
  \istb{a_1}[r]  \istb{a_1'}[r]     \endist
\istrootcntm(2)(0-2)<-10>{Expert}
  \istb{a_1}[r]  \istb{a_1'}[r]     \endist
\cntmdistance{15mm}{20mm}
\istrootcntm(3)(1-1)
  \istb*{a_2}[r]{\vpay{-(x-0.5)^2\\-x^2}}   \endist
\istrootcntm(4)(1-2)
  \istb*{a_2'}[r]{\vpay{-(x-0.5)^2\\-x^2}}  \endist
\istrootcntm(5)(2-1)
  \istb*{a_2}[r]{\vpay{-(x-0.5)^2\\-x^2}}   \endist
\istrootcntm(6)(2-2)
  \istb*{a_2'}[r]{\vpay{-(x-0.5)^2\\-x^2}}  \endist
\xtCInfoset(3)!.55!(5){Congressman}
\xtCInfoset[dashed](4)!.45!(6){Congressman}
\xtCommentTo[draw=none]($(0)!.5!(2)$)(1.5,0)
  {$w\sim U[0,1]$}[r]
\xtCommentTo[draw=none](3-1)(-1,-1)
  {where $x=a_2+w$ and similrarly for other cases}[r]
\end{istgame}

\end{document}

Si quieres un continuo de acciones tipo arco:

\documentclass{standalone}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{istgame}

\begin{document}

\NewDocumentCommand\vpay{m}
{ \begin{matrix} #1 \end{matrix} }

\begin{istgame}[scale=2]%,font=\scriptsize]
\cntmdistance{20mm}{70mm}{50mm}
\istrootcntmA(0)[chance node]{Nature}
  \istbA(.865){w}[r] \istbA(.865){w'}[r]     \endist
\cntmdistance{20mm}{40mm}{25mm}
\istrootcntmA(1)(0-1)<-170>{Expert}
  \istbA(.915){a_1}[r] \istbA(.915){a_1'}[r] \endist
\istrootcntmA(2)(0-2)<-10>{Expert}
  \istbA(.915){a_1}[r] \istbA(.915){a_1'}[r] \endist
\cntmdistance{15mm}{20mm}
\istrootcntmA(3)(1-1)
  \istbA*{a_2}[r]{\vpay{-(x-0.5)^2\\-x^2}}   \endist
\istrootcntmA(4)(1-2)
  \istbA*{a_2'}[r]{\vpay{-(x-0.5)^2\\-x^2}}  \endist
\istrootcntmA(5)(2-1)
  \istbA*{a_2}[r]{\vpay{-(x-0.5)^2\\-x^2}}   \endist
\istrootcntmA(6)(2-2)
  \istbA*{a_2'}[r]{\vpay{-(x-0.5)^2\\-x^2}}  \endist
\xtCInfosetO(3)(5){Congressman}
\xtCInfosetO[dashed](4)(6){Congressman}
\xtCommentTo[draw=none]($(0)!.5!(2)$)(1.5,0)
  {$w\sim U[0,1]$}[r]
\xtCommentTo[draw=none](3-1)(-1,-1)
  {where $x=a_2+w$ and similrarly for other cases}[r]
\end{istgame}

\end{document}