Tenemos una noción de filtraciones naturales, que representa intuitivamente la historia del proceso a medida que éste evoluciona en el tiempo.
También tenemos una noción de filtraciones en general, que son secuencias crecientes de álgebras subsigma.
Naturalmente, este último concepto es más abstracto que el primero, y me cuesta concretar el segundo.
En particular, si tenemos un proceso estocástico X, y un filtración F, tiendo a ver a F como un filtración natural (aunque sólo sabemos que es una filtración en general, y no necesariamente natural) de algunos otros proceso Y. ¿Podemos hacerlo?
En cuanto a por qué hago lo que hago, en muchos escenarios prácticos, estaríamos observando directamente el proceso Y (digamos que Y es el proceso del precio de las acciones) y por lo tanto nuestra información sería la filtración natural de Y, pero podríamos estar interesados en un ligeramente diferente proceso X (que puede ser el logaritmo del precio de la acción o alguna otra transformación funcional, por ejemplo). En este escenario, la filtración natural de Y es simplemente una filtración desde la perspectiva de X, y no una filtración natural.
Muchas gracias de antemano.
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Creo que la filtración natural de un proceso es la misma que la filtración natural de una transformación biyectiva de ese proceso. El ejemplo que me viene a la mente es una comilla de acciones modelada como un movimiento browniano geométrico $S_t$ gobernado por un movimiento browniano estándar $W_t$ . Ahora, el conocimiento de $W$ implica el conocimiento de $X$ es decir $\sigma ( W_t ) = \sigma (X_t)\ \forall t$ , donde $\sigma(\cdot)$ representa la sigma-álgebra generada por el proceso en todo momento. En cuanto a si todo Las filtraciones son filtraciones naturales de algún proceso, no estoy seguro.