Condiciones de la Medida Equivalente de Martingala (/Riesgo Neutral)

Question

Estoy tratando de entender los EMM's y quería entender por qué usamos los EMM's en vez de sólo las medidas de martingala. La forma en que definimos los EMM es (para un modelo simple de un período):

Dada una medida de probabilidad $\mathbb{P},$

1. $\mathbb{Q}$ debe ser una medida de probabilidad,
2. $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\bar{V_1}]=\bar{V_0}$ donde $V_i$ es el valor de la cartera en momentos $0 \text{ and } 1$ ,
3. $\mathbb{Q}\sim \mathbb{P}$ en el sentido de que ambos tienen los mismos conjuntos nulos.

He visto la utilidad de la segunda suposición y la primera parece un requisito fundamental para el marco, pero me gustaría saber más sobre por qué es útil la tercera suposición. Me han dicho que es útil cuando se transfieren afirmaciones sobre ser $\mathbb{P}$ casi seguro y $\mathbb{Q}$ casi seguro.

Como referencia, definimos una medida martingala como sólo las dos primeras condiciones.

Answer 1

El concepto de arbitraje debe ser independiente de la medida de probabilidad. Esto significa que sólo son admisibles las medidas equivalentes a la medida del mundo real, en las que se puede medir realmente el arbitraje.

Answer 2

Se dice que dos medidas son equivalentes si tienen los mismos conjuntos nulos. En el caso de las finanzas, esto significa que ambas medidas coinciden en qué sucesos pueden ocurrir y cuáles no. Por lo tanto, lo único que impone esta definición es que la medida del mundo real y la medida neutral al riesgo coincidan en qué sucesos pueden tener lugar y cuáles no.

En un entorno de espacio discreto simple, se suele suponer $\mathbb{P}$ para ser una medida estrictamente positiva (bueno, a menos que $\emptyset$ obviamente). es decir $\mathbb{P}[\{\omega\}]>0$ para todos $\omega\in\Omega$ . Así que, básicamente, no incluye ningún estado imposible del mundo. Esto también significa que las afirmaciones son válidas para todos los estados y no sólo para $\mathbb{P}$ -como. Como se sabe, se puede definir la medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ a través de los precios de Arrow-Debreu - y obviamente también deberían ser positivos. Así que, $\mathbb{Q}$ es también una medida estrictamente positiva y por tanto $\mathbb{P}\sim\mathbb{Q}$ es algo natural.