Implicaciones de la función de demanda diferenciable en las propiedades de la función de utilidad

Question

Supongamos que se sabe que la función de demanda (marshalliana) $x(p,m)$ que satisface el problema de maximización de la utilidad del consumidor es tal que $\frac{\partial x_i(p,m)}{\partial m}$ está siempre bien definida para cada bien $i\in\{1,\dots,L\}$ . En otras palabras, la función de demanda es diferenciable con respecto a la renta.

¿Qué significa esto? implica necesariamente sobre las propiedades de la función de utilidad $U(x_1,\dots,X_L)$ ?

Answer 1

En el ( cantidad, ingresos ) espacio, no siendo diferenciable en todas partes significaría que observaríamos huecos, saltos discontinuos, o torceduras, en el gráfico correspondiente de la función de demanda individual marshalliana.

GAPS: si hubiera una brecha, significaría que para un determinado rango de ingresos, la función de demanda no existe. Es decir, no está definida para un determinado rango de renta (pero sigue estando definida respecto a los precios). Esto podría interpretarse como que para este rango, la renta no afecta a la cantidad demandada. Por lo tanto, "diferenciable en todas partes" excluye este fenómeno.

SALTOS DISCONTINUOS: Si hubiera un salto discontinuo, significaría que un determinado nivel de renta induce un "efecto umbral" sobre la cantidad demandada. Por lo tanto, "diferenciable en todas partes" requiere que no existan tales efectos sobre la cantidad demandada.

KINKS: Si hubiera un pliegue, tendríamos un efecto umbral de "segundo orden", en el que la cantidad demandada cambiaría a un ritmo discontinuo con respecto a la renta. Así que "diferenciable en todas partes" excluye tales fenómenos.

Ahora hay que "matematizar" y proyectar de nuevo las propiedades de la función de utilidad ( si es decir, son relevantes para ella).

Nota: En muchos problemas de maximización de la utilidad, los ingresos no entran en la función de utilidad, pero forman parte de las restricciones del problema. En otros, postulamos una función de utilidad como una función bivariada de un bien y de la renta.