¿Cuál es la interpretación económica de $ \partial q / \partial p = - (1/p^2) w^T (D_w x) w $ en la maximización de los beneficios?

Question

Considere una empresa que maximiza sus beneficios y que es perfectamente competitiva tanto en el mercado de insumos como en el de productos. Se necesita $n$ entradas $ x \in \mathbb{R}^n_+ $ y produce $f(x)$ unidades de producción, donde $ f: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}_+ $ es la función de producción. A partir de ahora, supongamos $f$ tiene todas las condiciones de regularidad necesarias siempre que la prueba lo requiera.

Teorema

Supongamos que en cada precio del insumo $w \in \mathbb{R}^n_{++}$ y el precio de salida $p > 0$ el problema de maximización de beneficios

$$ \pi(p, w) = \max\{ p f(x) - w \cdot x : x \in \mathbb{R}^n_+ \} $$

tiene una solución única $x(p, w)$ . Sea $ q(p, w) = f(x(p, w)) $ sea la correspondiente función de oferta de salida, entonces

$$ \frac{\partial q}{\partial p}(p, w) = -\frac{1}{p^2} w^T D_w x(p, w) w \geq 0 $$

Prueba:

La condición de primer orden para la maximización del beneficio es:

$$ p \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(p, w)) = w_i \quad \forall i $$

Diferenciar $ q(p, w) = f(x(p, w)) $ con respecto a $p$ :

$$ \frac{\partial q}{\partial p}(p, w) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(p, w)) \frac{\partial x_i}{\partial p}(p, w) = \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{p} \frac{\partial x_i}{\partial p}(p, w) $$

Para evaluar $ \partial x_i / \partial p $ Aplicar el teorema de la envolvente a la función de beneficio $\pi$ dos veces:

$$ \frac{\partial x_i}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( -\frac{\partial \pi}{\partial w_i} \right) = -\frac{\partial}{\partial w_i} \frac{\partial \pi}{\partial p} = -\frac{\partial q}{\partial w_i} $$

Diferenciar $ q(p, w) = f(x(p, w)) $ con respecto a $w_i$ y utilizar de nuevo la condición de primer orden:

$$ \begin{align*} \frac{\partial x_i}{\partial p} = -\frac{\partial q}{\partial w_i} &= -\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(x(p, w)) \frac{\partial x_j}{\partial w_i}(p, w) \\ &= -\sum_{j=1}^n \frac{w_j}{p} \frac{\partial x_j}{\partial w_i}(p, w) \end{align*} $$

Sustituir lo anterior por $ \partial q / \partial p $ :

$$ \begin{align*} \frac{\partial q}{\partial p}(p, w) &= \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{p} \left( -\sum_{j=1}^n \frac{w_j}{p} \frac{\partial x_j}{\partial w_i}(p, w) \right) \\ &= -\frac{1}{p^2} \sum_{i,j=1}^n w_i \frac{\partial x_j}{\partial w_i}(p, w) w_j \end{align*} $$

Ya casi hemos terminado. Para obtener la forma de matriz requerida, necesitamos $ D_w x = ( \partial x_j / \partial w_i )_{ij} $ sea una matriz simétrica. Pero esto se deduce de nuevo del teorema de la envolvente:

$$ D_w x = \left( \frac{\partial x_j}{\partial w_i} \right)_{ij} = \left( -\frac{\partial^2 \pi}{\partial w_i \partial w_j} \right)_{ij} = -D^2_w \pi $$

donde $ D^2_w \pi $ es la matriz hessiana de $ \pi $ con respecto a $w$ . Así, tenemos la identidad requerida:

$$ \frac{\partial q}{\partial p}(p, w) = -\frac{1}{p^2} w^T D_w x(p, w) w $$

Finalmente, $\pi$ es una función convexa, por lo que $ D^2 \pi = - D_w x $ es semidefinido positivo. Pero esto significa $ - w^T D_w x(p, w) w $ es una forma cuadrática semidefinida positiva, por lo que $ \partial q / \partial p \geq 0 $ . Esto es sólo el ley de la oferta .

Pregunta:

¿Cuál es la interpretación económica de la identidad (aparte de dar el suministro de la ley de forma gratuita)? Parece que relaciona la elasticidad del precio propio de la producción con las elasticidades cruzadas de los insumos?

Answer 1

Fíjate que no necesitas toda esta prueba para demostrar que $\dfrac{\partial q(p,w)}{\partial p} \ge 0$ .

Como $\pi(p,w)$ es convexo, entonces tenemos inmediatamente por el teorema de la envolvente que: $$ 0 \le \frac{\partial^2 \pi(p,w)}{\partial p^2} = \frac{\partial q(p,w)}{\partial p}. $$

Una intuición, quizá más matemática, para la prueba es que se deduce fácilmente del hecho de que la función de oferta óptima $q(p,w)$ y las funciones de demanda de factores $x_i(p,w)$ son homogéneos de grado cero en los precios de la producción y de los insumos: $$ \begin{align*} &q(tp,tw) = q(p,w),\\ &x_i(tp,tw) = x_i(p,w). \end{align*} $$ El teorema de Euler da: $$ \begin{align*} &p\frac{\partial q(p,w)}{\partial p} + \sum_j w_j \frac{\partial q(p,w)}{\partial w_j} = 0 \tag{1}\\ &p \frac{\partial x_i(p,w)}{\partial p} + \sum_j w_j \frac{\partial w_i(p,w)}{\partial w_j} = 0 \tag{2} \end{align*} $$ Desde $(1$ ) y utilizando la simetría de los efectos de los precios, tenemos: $$ p \frac{\partial q(p,w)}{\partial p} - \sum_j w_j \frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p} = 0 $$ Entonces, si utilizamos $(2)$ para sustituir los términos $\dfrac{\partial x_j(p,w)}{\partial p}$ obtenemos el resultado final: $$ p \frac{\partial q(p,w)}{\partial p} + \sum_{j} \sum_i \frac{w_j w_i}{p} \frac{\partial x_i(p,w)}{\partial w_j} = 0 $$

¿Cuál es la interpretación económica de la identidad (aparte de dar el suministro de la ley de forma gratuita)? Parece que relaciona la elasticidad del precio propio de la producción con las elasticidades cruzadas de los insumos?

No sé si la identidad tiene una intuición económica clara. De forma equivalente, uno podría preguntarse por la intuición económica que hay detrás del hecho de que las elasticidades de precios cruzados de las demandas hicksianas son simétricas. Sabemos que se deduce fácilmente del teorema de Young y del teorema de la envolvente, pero en general no creo que haya una intuición económica clara para ello.

Para la derivación actual utilizamos el teorema de la envolvente y el teorema de Young (para obtener la simetría) y la homogenidad de grado cero de la oferta y las demandas de factores. Pero no creo que haya una intuición económica clara.

Expresando la identidad en forma de elasticidad, tenemos: $$ r \varepsilon^q_p + \sum_i c_i \sum_j \varepsilon^{x_i}_{w_j} = 0, $$ donde $r$ es el ingreso ( $r = p q(p,w)$ ) y $c_i$ es el coste del factor $i$ : ( $c_i = w_i x_i(p,w)$ ). Siguiente, $\varepsilon^q_p$ es la elasticidad del precio de salida de la oferta y $\varepsilon^{x_i}_{w_j}$ es el factor $j$ elasticidad del precio del insumo para el factor $i$ demanda.

Answer 2

¿Cuál es la interpretación económica de la identidad (aparte de dar el suministro de la ley de forma gratuita)?

Una pregunta más básica es ¿por qué se obtiene el signo esperado para la ley de la oferta de forma gratuita? En otras palabras, ¿por qué debería $\frac{\partial}{\partial p}q(p, w)$ ser positivo?

Para la ley de la demanda, el signo que se desea es no gratis. Hay que introducir la convexidad en el problema, es decir, la preferencia tiene que ser cuasicóncava. Entonces, por el Teorema de la Envolvente, se tiene $$ x^l(p, u) = D_p e(p,u) \Rightarrow D_p x^l(p, u) = D^2_p e(p,u), $$ donde $x^l$ es la demanda hicksiana y $e(p,u)$ la función de gasto mínimo. Por cuasi-concavidad de la preferencia, $e(p,u)$ es cóncavo. Esto da la semidefinición negativa de la matriz de sustitución $D_p x^l(p, u)$ .

Aquí tenemos $\frac{\partial}{\partial p}q(p, w) \geq 0$ gratis porque obtenemos la convexidad de forma gratuita para el problema de la empresa, a diferencia del problema del consumidor. $\pi$ es por definición un máximo de funciones afines, por tanto convexo. La simetría es una consecuencia de la convexidad, que puede relacionarse con la transitividad de las preferencias en el caso del problema del consumidor. Para el problema de la empresa, no conozco una interpretación económica.

La derivación puede ser mucho más corta. Es similar al caso de la demanda, $$ x(p,w) = - D_w \pi(p,w) \Rightarrow D_w x(p, w) = - D^2_w \pi(p,w), $$

Para una interpretación, la identidad puede reescribirse como (digamos $n = 1$ ) $$ pq \left( \frac{p}{q} \frac{dq}{dp} \right) + wx \left( \frac{w}{x} \frac{dx}{dw} \right) = 0, $$ es decir, los ingresos por la elasticidad del precio de la producción y el coste por la elasticidad del precio de los insumos deben compensarse mutuamente.