¿Cuándo el método de los elementos finitos proporciona una ventaja considerable sobre las diferencias finitas para la valoración de opciones?

Question

Busco ejemplos concretos en los que un método de elementos finitos (MEF) ofrezca ventajas considerables (por ejemplo, en cuanto a la velocidad de convergencia, la precisión, la estabilidad, etc.) sobre el método de diferencias finitas (MDF) en la valoración de opciones y/o el cálculo de sensibilidades.

Sé que, en general, los elementos finitos son un método numérico más potente para resolver las EDP (por ejemplo, permite trabajar con geometrías complejas), pero me interesa específicamente saber si podemos utilizarlo plenamente para la valoración de opciones. He hojeado el libro Ingeniería financiera con elementos finitos pero sólo expone algunas consideraciones generales sobre las ventajas del MEF en la sección introductoria, sin entrar en detalles.

Actualmente sólo conozco un caso en el que FEM supera a FDM en la tasa de convergencia, a saber, en la fijación de precios bajo un modelo de varianza gamma. Pero esta ventaja puede despreciarse introduciendo ciertas mejoras en el FDM.

Answer 1

En cuanto a las EDP (deterministas), tenemos la noción de "solución fuerte" (que resuelve directamente el operador diferencial en la formulación fuerte del problema) y la "solución débil", que se ocupa de una formulación débil del problema.

Para la formulación fuerte, las diferencias finitas son el camino a seguir ya que son la discretización natural del operador diferencial.

Para la formulación débil, los métodos de elementos finitos son el camino a seguir, ya que abordan directamente la formulación débil del problema restringiéndola a un espacio dimensional finito (dependiendo del tipo de "funciones-elemento" o funciones-base que se elija para este espacio).

El método de las diferencias finitas tiene problemas con las geometrías complejas y las mallas adaptativas - la geometría no será un problema en la valoración de opciones ya que siempre se considera el rectángulo $[0,T]\times[S_\text{min}, S_\text{max}]$ . Perfeccionamiento local puede ser un problema - pero depende de la ecuación y de la condición inicial/de límite. Además, en el caso de algunas ecuaciones diferenciales (no lineales), se producen problemas de disconticidad y se pueden producir efectos de oscilación. Hay esquemas que evitan este tipo de problemas, pero hay que invertir en el algoritmo.

El método de elementos finitos es una noción más general. Dado que las SPDE se definen por su formulación integral (Ito-), un enfoque que se aproxime a una formulación integral resultará más natural. Esto se debe a que el resultado de una llamada europea (variable S) y las trayectorias del movimiento browniano (variable t) no son diferenciables. El uso de métodos de diferencias finitas para SPDEs discretizaciones más naturales para los "operadores diferenciales" no le da el esquema correcto por lo que yo sé. Esa sería otra pista que apunta en la dirección de los elementos finitos un poco.

Un problema al comparar el rendimiento de ambos es, sin duda, que hay tantos esquemas diferentes (implícitos/explícitos de diferentes ordas para las diferencias finitas y elecciones de funciones base y técnicas de refinamiento local para los elementos finitos) que es imposible decirlo. Quizás para alguna elección de modelo y condición inicial/limítrofe un método supere al otro, pero creo que es difícil de generalizar.

Answer 2

Los FDM representan las EDP sobre una forma de rejilla simple; las diferentes implementaciones son sólo diferentes relaciones de recurrencia para aproximar las soluciones de las EDP entre los valores límite (por ejemplo, para la fijación de precios de las opciones, $T=[t_\mathrm{now},t_\mathrm{maturity}]$ y $S=[\mathrm{deep\_itm},\mathrm{deep\_otm}])$ .

El MEF es un nombre general para muchas implementaciones diferentes de mallas "adaptables", en las que las aproximaciones en diferentes regiones no son necesariamente las mismas en todo el espacio (por ejemplo, T,S). Uno (de los muchos) ejemplos en los que estos enfoques son importantes son las valoraciones de opciones dependientes de la trayectoria (por ejemplo, las opciones asiáticas, véase Zhang, 2001/3 que es FDM, imagínese si quisiéramos modelar mejor el efecto de suavización del promedio en el tiempo, o los procesos de salto descritos por Merton).

Answer 3

No tengo experiencia personal en la comparación de los dos métodos. Sin embargo, he oído que el MEF podría ser preferible al MDF en relación con las EDP degeneradas, como las que se dan en el modelo de Hobson-Rogers.