Formulación óptima de la cartera

Question

Actualmente estoy estudiando el artículo de Luenberg "Projection Pricing" ( Jrl de Teoría de la Optimización y Aplicaciones , Vol. 109, nº 1, pp. 1-25, abril de 2001) y hay una afirmación que no puedo probar. En resumen, estoy tratando de encontrar la máxima cartera de Sharpe Ratio, así que: $$ \text{maximize } \frac{\omega^T(\bar{y}-R_f p)}{\sqrt{\omega^TV \omega}} $$ Dónde $\omega$ es el vector de pesos, $\bar{y}$ la retribución esperada de los activos, $p$ es el vector de precios, $V$ la matriz de covarianza y $R_f = 1+r_f$ , $r_f$ es la tasa libre de riesgo. Y afirma que la solución es: $$ \omega = \gamma (\bar{y}-R_f p)^T V^{-1} $$ Intenté usar la primera condición de Kuhn-Tucker:

$$ \mathcal{L}(\omega) = \frac{\omega^T(\bar{y}-R_f p)}{\sqrt{\omega^TV \omega}} $$

$$ \frac{\partial\mathcal{L(\omega)}}{\partial\omega} = 0 \Rightarrow \frac{(\bar{y}-R_f p)}{\sqrt{\omega^TV \omega}} - \frac{\omega^T(\bar{y}-R_f p)}{\sqrt{(\omega^T V \omega)^3}} V \omega =0 $$ Pero a partir de ahí no hay éxito...

Tal vez no estoy viendo algún tipo de manipulación o el problema es que faltan algunas restricciones.

¿Alguien sabe cómo probarlo?

Gracias.

Answer 1

Tratar los escalares como constantes molestas que se tratarán más adelante y resolver las condiciones KKT hasta ese escalamiento. Ya has demostrado que $$ \frac{\bar{y} - R_fp}{c_1} - \frac{c_2}{c_1^3}V\omega = 0. $$ Esto bastaría para demostrar la identidad de $\omega$ hasta el escalamiento.