Estoy buscando una referencia (con una prueba posiblemente) para entender por qué la completitud de los mercados implica que el factor de descuento estocástico es estrictamente positivo en el contexto del consumo intertemporal, es decir, cuando un agente FOC implica
$$ p_t = \mathbb{E}\left[\beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} x_{t+1}\right] $$
donde $p_t$ es el precio de un activo que da $x_{t+1}$ en el siguiente periodo.
...la completitud de los mercados implica que el factor de descuento estocástico es estrictamente positivo...
Esta afirmación no es del todo correcta. Más bien, la condición de optimalidad del agente implica que el mercado es completo con respecto a los estados relevantes para el consumo del agente, y que la FDS debe ser estrictamente positiva en esos estados.
El FAD es, más o menos, lo mismo que los precios de Arrow-Debreu en los estados relevantes para el consumo, que deben ser estrictamente positivos. De lo contrario, el equilibrio no existiría. La utilidad marginal no puede ser cero en el equilibrio. (La SDF es la derivada de Radon-Nikodym de los precios AD con respecto a la medida física. La FAD es estrictamente positiva si y sólo si los precios AD lo son).
Para simplificar, supongamos que el consumo del agente es $\omega$ -contingente, donde $\omega$ pertenece a un conjunto finito $\Omega$ . Entonces el FOC $$ p_t = \mathbb{E}\left[\beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} x_{t+1}\right] $$ se convierte en $$ p_t = \sum_{\omega \in \Omega} \beta \frac{u'(c_{t+1}(\omega))}{u'(c_t (\omega))} \cdot x_{t+1} (\omega) \cdot P(\omega). $$ La cantidad $$ \beta \frac{u'(c_{t+1}(\omega))}{u'(c_t (\omega))} \cdot P(\omega) $$ puede considerarse como el precio de una demanda con pago $1_{\{ \omega' =\omega\}}(\omega')$ (es decir, una opción digital que paga 1 si $\omega$ se realiza y 0 en caso contrario). Estos créditos son exactamente los valores Arrow-Debreu en el mercado de $\omega$ -Cuentas contingentes.
(Si el pago $x_{t+1}$ depende, por ejemplo, del estado $(\omega, \nu)$ donde el consumo del agente es invariable con respecto a $\nu$ entonces el mercado es completo sólo con respecto a $\omega$ -Demandas contingentes. Los créditos cuyo pago depende de $\nu$ no puede ser replicado, es decir, el mercado no está completo con respecto a dichas demandas. En el BDC, el $\nu$ -coordenada se integraría fuera).
En equilibrio, la FOC se convierte en la ecuación de precios de los activos $$ p_t = \mathbb{E}\left[\beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} p_{t+1}\right]. $$ Esto significa que, en el mercado de valores AD de $\omega$ -contingentes, el agente (representativo) posee la cartera que es el propio activo.
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