Pregunta sobre las condiciones de contorno cuando se utiliza la diferencia finita

Question

Me surgen dos preguntas (no están relacionadas directamente entre sí).

1. Mi primera pregunta es sobre las condiciones de contorno cuando se utilizan métodos de diferencias finitas. Hay dos maneras de hacerlo: a) Dirichlet b) von Neumann (utilizando siempre dos valores "dentro" de la malla para obtener el de la frontera). Para mí las condiciones de von Neumann son más elegantes. Siempre está escrito que se mantienen siempre que el Payoff es lineal para valores grandes. Pero estoy buscando un poco de ejemplos sobre eso. ¿En qué tipos de opciones von Neumann funciona y en cuáles no?

2. Fijación de precios de opciones de barrera con métodos FD (como Crank Nicoloson). ¿Cómo lo enfocaría? Digamos que tiene una opción de compra al alza y a la baja. ¿Utilizaría la misma técnica que la opción de compra simple, sólo que diría que el límite superior del precio de la acción es el valor de la barrera (por lo que la cuadrícula en la dirección del precio de la acción sube hasta el nivel de la barrera) y la condición de límite para el valor de la opción es cero?

Muchas gracias por compartir tus conocimientos y tu respuesta.

Answer 1

1 - La condición de contorno de Neumann lleva el nombre de Carl Neumann, no de John von Neumann.

Hay otra condición de contorno que no se menciona a menudo pero que se utiliza muy a menudo en la práctica en los solucionadores de FD de Quant finance, que es lineal (derivada espacial segunda cero en la frontera). Esto significa que en la frontera la EDP $a\frac{\partial U}{\partial x} + b \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial U}{\partial t} = 0$ se simplifica en $a\frac{\partial U}{\partial x} + \frac{\partial U}{\partial t} = 0$ que se discretiza utilizando la diferencia discreta no centrada para $\frac{\partial U}{\partial x}$ .

2 - Opciones de barrera: se hace lo que sugieres, hacer que la barrera sea el valor superior (resp. valor inferior) de la rejilla cuando se fija el precio de un up and out (resp. down and out), y utilizar una condición Dirichlet en la barrera.