Estadística T de los rendimientos mensuales frente a los rendimientos mensuales anualizados

Question

EqEstoy muy confundido sobre una cuestión muy básica. Esto es probablemente más estadísticas que las finanzas cuantitativas, pero aún así, debe ser útil para este tablero stackexchange también.

Supongamos que tengo rendimientos mensuales $r_1, r_2, ...., r_T$ .

Puedo calcular la rentabilidad media y la desviación estándar como:

\begin{equation} \bar{r} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T r_i \end{equation}

Puedo calcular la desviación estándar del rendimiento como \begin{equation} \sigma_r = \sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T(r_i - \bar{r})^2} \end{equation}

Así, si quiero probar si la media es igual a cero, puedo construir el estadístico t:

\begin{equation} t-stat = \frac{\bar{r}}{\sigma_r/\sqrt{T}} \end{equation}

Ahora supongamos que anualizo la media y la desviación estándar haciendo:

\begin{equation} \bar{r}^{annual} = \bar{r} \times 12 \end{equation}

\begin{equation} \sigma_{r}^{annual} = \sigma_r \times \sqrt{12} \end{equation}

Ahora bien, si calculo la misma t-stat, como arriba obtengo:

\begin{equation} t-stat^{annual} = \frac{\bar{r}^{annual}}{\sigma^{annual}_r/\sqrt{T}} = \sqrt{12} (t-stat) \end{equation}

Mi pregunta es ¿qué estoy haciendo mal? ¿Por qué la t-stat se multiplica por sqrt(12)? Si en lugar de eso, primero anualizo la serie de rendimientos $r_i$ haciendo $r_i \times 12$ esto no sucede, y obtengo la misma t-stat, independientemente de si anualizo o no.

Answer 1

Esta es una explicación, espero que más clara, de lo que he dicho en mis comentarios. El trasfondo es que tienes una rentabilidad media mensual $\bar{r}_{m} = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} r_{i}$ y una estimación de varianza mensual $\sigma^2_{\bar{r}_{m}}$ donde $\sigma^2_{\bar{r}_{m}} = \frac{\sigma^2_{r}}{12}$ . En lo que sigue, se supone que estas estimaciones ya han sido calculadas.

Ahora, queremos convertir de mensual a anual ( suponemos que los rendimientos se pueden sumar porque son lo suficientemente pequeños) para obtener el rendimiento anual y la varianza anual, por lo que necesitamos hacer la suposición de que los rendimientos mensuales son iid.

Por lo tanto, queremos calcular

$r_{y} = \sum_{i=1}^{T} \bar{r}_m$ donde $T = 12$ y $\sigma^2_{r_y} = \sum_{i=1}^T \sigma^2_{r}$ donde $T = 12$ .

Así que, después de usar la suposición iid y algo de álgebra, acaba siendo sencillo demostrar que $r_y = T \bar{r}_{m}$ y $\sigma^2_{r_y} = T \sigma^2_{r}$ .

Por lo tanto,

$\frac{r_y}{\sigma_{r_y}} = $ $ \frac{T \bar{r}_{m}}{\sqrt{T} \sigma_{r}} $ $ = \frac{\bar{r}_{m}}{\frac{\sigma_{r}}{\sqrt{T}}}$

El último término es el mismo estimador que la OP ha definido como $t - tstat$ . Por último, hay que tener en cuenta que esta estadística se compararía con la distribución t con $T-1$ grados de libertad porque $\sigma_r$ consiste en $T$ observaciones (no $\sigma_{r_{y}}$ ).