Pregunta general sobre el IV

Question

Supongamos que queremos estimar \begin{equation} y = \alpha_0 + x_1 \beta + c'\gamma + \varepsilon \end{equation} donde $\beta$ es la variable de interés y $c$ es un vector de controles. Sospechamos que $E[x\varepsilon]\neq0$ pero tenemos un instrumento $z$ tal que $E[z\varepsilon]=0.$ Mi pregunta es -siempre que la IV sea válida- si debe importarnos que pueda haber un control endógeno $c_1$ tal que $E[c_1\varepsilon]\neq0$ ? ¿Por qué o por qué no?

Mi corazonada es que no lo hace porque mientras el IV sea válido (satisface el principio de inclusión-exclusión) la correlación entre los controles y los inobservables no debería llevar a la inconsistencia de la estimación de $\beta$ .

Answer 1

En general, si $c_1$ es endógena, se necesitan instrumentos para $c_1$ también.

Ejemplo: Incluso cuando $x_1$ es exógena, si $c_1$ es endógena y $x_1$ y $c_1$ están correlacionadas, entonces OLS (que es el estimador IV que utiliza $x_1$ como IV para $x_1$ ) es generalmente inconsistente.

Existen excepciones. Por ejemplo, cuando se identifica exactamente, si $(Ezc') (Ecc')^{-1} (Ecu)=0$ entonces su estimador IV es consistente, supongo. (Puede derivar esto usando la técnica estándar que implica la ley de los grandes números).