Supongamos que se trata de un activo sin riesgo con rentabilidad $r_{ft}$ y un activo de riesgo con rentabilidad $r_t$ y la volatilidad condicional $\sigma_t(r_t) := \sqrt{V_t(r_t)}$ . Construimos una cartera utilizando ponderaciones $(w_1, w_2) \in \mathbb{R}$ o como tú lo escribiste $w_t := w_{1t}$ , $w_{2t} := 1 - w_t$ . Esta cartera tendrá un tiempo $t$ devolución de $r_{pt}$ . Su volatilidad viene dada por $\sigma(r_{pt})$ definida de forma similar a la anterior. También definimos las volatilidades y varianzas condicionales de forma similar a $(\sigma_t(.), \sigma_t^2(.))_{t \geq 0}$ respectivamente.
El objetivo de volatilidad para esta cartera es $\tau$ y estamos buscando pesos de la cartera. Por definición: \begin{align} \sigma_t^2(r_{pt+1}) &= w_t^2 \sigma_t^2(r_{t+1}) + (1-w)^2 \sigma_t^2(r_{ft+1}) \\ \sigma_t^2(r_{pt+1}) &= w_t^2 \sigma_t^2(r_{t+1}) + 0 \\ \sigma_t(r_{pt+1}) &= w_t \sigma_t(r_{t+1}) \\ \rightarrow w_t &= \frac{\sigma_t(r_{pt+1})}{\sigma_t(r_{t+1})} \\ \rightarrow w_t^* &= \frac{\tau}{\sigma_t(r_{t+1})} \end{align} por lo que, si se conoce la volatilidad condicional durante el siguiente periodo, se puede elegir trivialmente las ponderaciones de la cartera que garanticen que se alcanza el nivel de volatilidad deseado exactamente en cada momento. Pero su pregunta se refiere más bien a ¿qué sucede si utilizo un nivel de volatilidad ESTIMADO ?
Supongamos una estructura de error aditiva tal que $\hat{\sigma}_t(r_t) := \sigma_t(r_t) + \epsilon_t$ . Algunos de los movimientos que se observan en la varianza condicional se deben a la varianza de muestreo, es decir $V(\hat{\sigma}_t(r_t)) = V(\epsilon_t) \neq 0$ . Si resulta que tienes un estimador consistente del proceso de varianza condicional para los rendimientos de tu activo de riesgo, entonces tus resultados de convergencia serían \begin{equation} \forall \delta > 0 \; \lim_{T \rightarrow \infty} \text{Pr}( |\hat{w}_t - w_t^*| > \delta) = 0 \end{equation} trivialmente porque $\tau$ es conocido y el denominador converge (estoy asumiendo que converge en el mismo sentido). En esencia, no es realmente complicado de probar, siempre y cuando puedas demostrar que tienes un estimador apropiado (en un sentido asintótico) para la varianza condicional, está bien.
Ahora, la cuestión más problemática es que se trabaja con una muestra finita, por lo tanto: \begin{align} \sigma_t^2(r_{pt+1}) &= \tau^2 V_t \left( \frac{r_{t+1}}{\hat{\sigma}_t(r_{t+1})} \right) \\ \sigma_t^2(r_{pt+1}) &= \tau^2 \left[ \sigma_t^2(r_{t+1}) + \sigma_t^2(1/\epsilon_t) + 2 cov_t\left(r_{t+1}, 1/\epsilon_t\right) \right] \\ \sigma_t(r_{pt+1}) &= \tau \sqrt{\left[ \sigma_t^2(r_{t+1}) + \sigma_t^2(1/\epsilon_t) + 2 cov_t\left(r_{t+1}, 1/\epsilon_t\right) \right]} \end{align} y podría ser un poco más de volatilidad de lo que querías tener. Para que quede claro, no asumo que $\epsilon_t$ se conoce en el momento $t$ por lo que las expresiones anteriores tienen sentido. Una cosa que podrías hacer para aliviar el problema es, en lugar de basarte en un argumento sobre la asintótica de los estimadores, elegir las ponderaciones para minimizar la distancia entre el objetivo y la volatilidad condicional estimada de tu cartera, sabiendo que estás utilizando una estimación y que, por tanto, no es una medida perfecta.
Y, si quieres ser extremadamente elegante, en realidad tienes un grado de libertad sobre cómo se estiman las volatilidades condicionales tanto del activo de riesgo como de la cartera. En otras palabras, podría adaptar su elección de estimaciones a la necesidad de acercarse lo más posible a su nivel de volatilidad objetivo.
