Modelo Vasicek, pregunta sobre los bonos de cupón cero

Question

Estoy tratando de resolver preguntas en el modelo Vasicek. Puede alguien ayudarme a resolver esta pregunta...

En el modelo Vasicek con parámetros $\theta = 0.08$ , $k$ = 2.5, $\sigma = 0.2$ suponiendo que ya está por debajo de la probabilidad neutra al riesgo y que $r_0 = 0.1$ El precio de un bono de cupón cero con nominal $F = 100$ euros y vencimiento a 2 años.

¿Cuál es la probabilidad de que el bono recién descrito valga más de 96 euros después de 1 año?

Answer 1

Dejemos que $P(t,T)$ denotan el tiempo $t$ precio de un bono de cupón cero (con valor nominal unitario) que vence en el momento $T$ .

En primer lugar, recordemos que para cada $s\leq t$ tenemos \begin{align*} r_t = r_s e^{-\kappa(t-s)}+\theta\left(1-e^{-\kappa(t-s)}\right)+\sigma \int_s^t e^{-\kappa(t-u)}\mathrm{d}W_u. \end{align*} Así, el tipo corto $(r_t)$ se distribuye normalmente para cada punto de tiempo $t$ con \begin{align*} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[r_t|\mathcal{F}_s] &= r_se^{-\kappa(t-s)}+\theta\left(1-e^{-\kappa(t-s)}\right), \\ \mathbb{V}\mathrm{ar}[r_t|\mathcal{F}_s] &= \frac{\sigma^2}{2\kappa}\left(1-e^{-2\kappa(t-s)}\right). \end{align*}

En segundo lugar, el modelo Vasicek es un modelo de estructura temporal afín, es decir, el precio del bono viene dado por $P(t,T)=e^{A(t,T)+B(t,T)r_t}$ , donde \begin{align*} A(t,T) &= \left(\frac{\sigma^2}{2\kappa^2}-\theta\right)\big( T-t-B(t,T)\big)-\frac{\sigma^2}{4\kappa}B(t,T)^2, \\ B(t,T)&=\frac{1}{\kappa}\left(e^{-\kappa(T-t)}-1\right). \end{align*} En particular, el precio del bono de cupón cero $P(t,T)$ tiene una distribución log-normal para cada punto de tiempo $t$ .

Finalmente, calculamos la probabilidad (incondicional, neutral al riesgo) de que el tiempo $t$ el precio de un bono de cupón cero está por encima de un $c>0$ . \begin{align*} \mathbb{Q}[\{P(t,T)>c\}] &= 1- \mathbb{Q}[\{P(t,T)\leq c\}]\\ &= 1- \mathbb{Q}[\{e^{A(t,T)+B(t,T)r_t}\leq c\}] \\ &= 1- \mathbb{Q}\left[\left\{r_t\leq \frac{\ln(c)-A(t,T)}{B(t,T)}\right\}\right] \\ &= 1- \mathbb{Q}\left[\left\{m_t+ s_tZ\leq \frac{\ln(c)-A(t,T)}{B(t,T)}\right\}\right] \\ &= 1- \mathbb{Q}\left[\left\{Z\leq \frac{\ln(c)-A(t,T)-m_tB(t,T)}{s_tB(t,T)}\right\}\right] \\ &= 1- \Phi\left(\frac{\ln(c)-A(t,T)-m_tB(t,T)}{s_tB(t,T)}\right), \end{align*} donde $Z\sim N(0,1)$ y $m_t$ y $s_t^2$ son la media y la varianza incondicionales de $r_t$ . Finalmente, $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria estándar normalmente distribuida.

En su caso, $c=0.96$ , $t=1$ y $T=2$ . Así, \begin{align*} m_1 &= r_0e^{-\kappa}+\theta\left(1-e^{-\kappa}\right), \\ s_1 &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{2\kappa}\left(1-e^{-2\kappa}\right)}, \\ A(1,2) &= \left(\frac{\sigma^2}{2\kappa^2}-\theta\right)\big( 1-B(1,2)\big)-\frac{\sigma^2}{4\kappa}B(1,2)^2, \\ B(1,2)&=\frac{1}{\kappa}\left(e^{-\kappa}-1\right). \end{align*}