Fijación de precios de Black-Scholes con dividendos

Question

Considera la recompensa $g(S_T)$ que se muestra en la figura siguiente. Consideremos el modelo Black-Scholes para el precio de un activo de riesgo con $T = 1$ , $r = .04$ y $\sigma = .02$ y los dividendos se pagan trimestralmente con una rentabilidad por dividendo $10\%$ . Toma $S_0 = 10$ , $K_1 = 9$ y $K_2 = 11$ . Encuentre el precio Black-Scholes, $\Delta$ , $\Gamma$ , $\rho$ y $\mathcal{V}$ de esta opción en el momento $t = 0$ . Encuentre $\Theta$ en el momento $t = 0$ sin tomar derivadas con respecto a $S$ .

Solución: El pago es, $$g(S_t) = (S_t - K_1)_{+} - 2(S_t - \frac{(K_1 + K_2)}{2})_{+} + (S_t - K_2)_{+}$$ La fórmula Black-Scholes con dividendo da $$\begin{align*} V(t = 0,S) &= e^{-r\tau}\hat{\mathbb{E}}[g(\tilde{d}S_T)]\\ &= \tilde{d}\left(BS_{call}(\frac{K_1}{\tilde{d}}) - 2BS_{call}(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}}) + BS_{call}(\frac{K_2}{\tilde{d}})\right) \end{align*}$$ donde $$\tilde{d} = \left(1 - \frac{d}{4} \right)^{4} = .9037$$ Así que, $$V(t = 0,S) = e^{-r\tau}\hat{\mathbb{E}}[g(\tilde{d}S_T)] = (.9037)((0) - 2(0) + (0)) \approx 0$$ Para los griegos tenemos $$\Delta = \partial_S V(t = 0,S) = \tilde{d}\left[\Phi(d_1(\frac{K_1}{\tilde{d}})) + \Phi(d_1(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}})) + N(d_1(\frac{K_2}{\tilde{d}})) \right] \approx 0$$ $$\Gamma = \partial_{SS}V(t = 0, S) = 0$$ $$\rho = \partial_r V(t = 0,S) = \left( e^{-rt}(\frac{K_1}{\tilde{d}})(t)\Phi(d_2) + e^{-rt}(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}})(t)\Phi(d_2) + e^{-rt}(\frac{K_2}{\tilde{d}})(t)\Phi(d_2)\right) \approx 0$$ $$\mathcal{V} = (S\sqrt{t}\Phi(d_1) + S\sqrt{t}\Phi(d_1) + S\sqrt{t}\Phi(d_1)) \approx 0$$

Answer 1

En tu respuesta, no incluyes los dividendos. Lamento decir que es un error.

La función de pago es $$g(S_T) = (S_T - K_1)_+ - 2(S_T - \frac{K_1+K_2}{2})_+ + (S_T - K_2)_+$$

La fórmula de fijación de precios BS con dividendos da $$V(t=0,S) = e^{-r}E(g(\tilde{d}S_T)) = \tilde{d} \left(BS_{call}\left(\frac{K_1}{\tilde{d}}\right) - 2BS_{call}\left(\frac{K_1+K_2}{2 \tilde{d}}\right) + BS_{call}\left(\frac{K_2}{\tilde{d}}\right)\right)$$

Dónde $$\tilde{d} = (1-\frac{d}{4})^4 = 0.9037$$ Si introduces todos los números de tu pregunta, obtendrás 0,3905 (compruébalo tú mismo).

En cuanto a los griegos,

$$\Delta = \frac{\partial V(t=0,S)}{\partial S} = \tilde{d} \left[ N(d_1(K_1/\tilde{d})) - 2N(d_1((K_1+K_2)/(2\tilde{d}))) + N(d_1(K_2/\tilde{d})) \right]$$ donde $N$ es la f.d.c. normal y $d_1(K)=\frac{log(S/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma)\tau}{sigma\sqrt{\tau}}$ .

El resto del problema es bastante trivial porque todos los griegos son sólo una combinación lineal de los griegos originales de BS. Sólo hay que cambiar el precio de ejercicio en el original BS griegas (supongo?). No voy a repasar todo el cálculo aquí.

Hágame saber si algo no está claro.