Calcular la evolución de una distribución en el tiempo

Question

Tenemos una población de personas con diferentes edades $a$ el tiempo se indexa con $t$ . Hay un ritmo de muerte de las personas, $d(a, t)$ . Para simplificar, ignora los nacimientos. Quiero calcular la evolución de la distribución de las edades en el tiempo.

Denota la masa de personas de edad igual o inferior a $a$ por $F(a,t)$

$$ F(a,t) = \int_0^{a} m(\tilde a,t) d\tilde a $$

En definitiva, busco alguna ecuación de Kolmogorov hacia adelante es decir, la solución para

$$ \partial_t F(a,t)$$

Mi enfoque Dejemos que $f(a, t)$ denotan la densidad de personas a la edad $a$ y punto en el tiempo $t$ . Empezaré con una aproximación en tiempo discreto y dejaré que $\Delta$ se reduce a cero. En cada punto discreto en el tiempo,

$$ f(a+\Delta, t+\Delta) = (1-P(a, t))f(a, t)$$

donde $P(a, t)$ es el análogo en tiempo discreto de $d(a,t)$ . Como voy a dejar $\Delta\to 0$ Puedo aproximar $1-P$ con $1-\Delta d)$ :

$$ f(a+\Delta, t+\Delta) = (1- \Delta d(a,t))f(a, t)\\ \frac{f(a+\Delta, t+\Delta) -f(a,t)}{\Delta} = -d(a,t))f(a, t)\\ (\partial_t + \partial_a)f(a,t) = \lim_{\Delta\to 0}\frac{f(a+\Delta, t+\Delta) -f(a,t)}{\Delta} = -d(a,t))f(a, t)\\ $$

Puedo integrar ambos lados con a y obtener

$$ \partial_t F(t, a) = - f(t, a) - \int q(t, a) f(t, a) da \\ \partial_t F(t, a) = - \partial_a F(t, a) - \int q(t, a) \partial_a F(t, a) da $$

Sé que $\partial_a q(t, a) = q(t, a) (1-q(t, a))$ . Sin embargo, eso no me ayuda a resolver la integral. ¿Hay acaso otro ángulo para atacar este problema? ¿O me he perdido algo?

Answer 1

Esta es mi mejor suposición. No he comprobado a fondo si esto es correcto, pero tal vez ayude.

Evolución de la densidad de población

Entiendo que el modelo es el siguiente. $f(a,t)$ es la densidad de personas de edad $a$ en el momento $t$ . Supongamos que en el momento $t=0$ la densidad de la población es $f_0(a)$ . Para modelar el proceso de envejecimiento así como la tasa de mortalidad, la densidad $f$ debe evolucionar con el tiempo de manera que satisfaga la condición que has derivado. Por lo tanto, $m$ debe satisfacer la siguiente ecuación diferencial parcial $$ \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial a} + d(a, t) f(a,t) = 0 $$ y la condición inicial $$ f(a,0) = f_0(a). $$ Creo que las EDP de esta forma pueden tener soluciones relativamente sencillas dependiendo de la forma funcional elegida para $d$ . Estos son algunos casos.

Caso 1: Tasa de mortalidad constante, $d(a,t) = d_0$ .

Supongamos una tasa de mortalidad constante, $d(a,t) = d_0$ . Entonces (usando Mathematica),

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + d0 f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

resultados en

{{f[a, t] -> E^(-a d0 + d0 (a - t)) f0[a - t]}}

Así que, como podemos ver, esto da una solución sencilla $$ f(a,t) = \exp\{-a d_0 + d_0 (a-t)\} \cdot f_0(a-t) $$ Caso 2: Mortalidad de troncos, $d(a,t) = \log(a+1)$ .

Aquí tenemos

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + Log[a+1] f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

lo que resulta en

{{f[a, t] -> (1 + a)^(-1 - a) E^t (1 + a - t)^(1 + a - t) f0[a - t]}}

Esto también da una solución sencilla $$ f(a,t) = (1+a)^{-a-1} e^t (1+a-t)^{1+a-t} \cdot f_0(a-t) $$

Caso 3: El caso general

Para el caso de que no especifiquemos todavía $d(a,t)$ ,

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + d[a, t] f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

nos da (en TeXForm para mayor claridad)

$$ \begin{align*} \left\{\left\{f(a,t)\to \\ \text{f0}(a-t) \cdot \\ \exp \left(\int_1^a -d(K[1],K[1]-a+t) \, dK[1]-\int_1^{a-t} -d(K[1],K[1]-a+t) \, dK[1]\right)\right\}\right\} \end{align*} $$