Me gustaría que me ayudaran a entender el concepto de combinación/expansión de una estructura de información en el juego de información incompleta en la p.6-9 este papel.
Permítanme resumir el juego tal y como se describe en el documento.
Hay $N\in \mathbb{N}$ jugadores, con $i$ que denota un jugador genérico.
Existe un conjunto finito de estados $\Theta$ con $\theta$ que denota un estado genérico.
Un juego básico $G$ consiste en
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para cada jugador $i$ un conjunto finito de acciones $A_i$ donde escribimos $A\equiv A_1\times A_2\times ... \times A_N$ y una función de utilidad $u_i: A\times \Theta \rightarrow \mathbb{R}$ .
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un apoyo completo antes $\psi\in \Delta(\Theta)$ .
Una estructura de información $S$ consiste en
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para cada jugador $i$ un conjunto finito de señales $T_i$ donde escribimos $T\equiv T_1\times T_2\times ... \times T_N$ .
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una distribución de la señal $\pi: \Theta \rightarrow \Delta(T)$ .
Una regla de decisión del juego de información incompleta $(G,S)$ es un mapeo $$ \sigma: T\times \Theta\rightarrow \Delta(A) $$
Combinación/Expansión:
Consideremos dos estructuras de información, $S^1\equiv (T^1, \pi^1)$ y $S^2\equiv (T^2, \pi^2)$ . Decimos que $S^*\equiv (T^*, \pi^*)$ es una combinación de $S^1$ y $S^2$ si
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$T_i^*=T_i^1\times T_i^2$ $\forall i$ .
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$\pi^*:\Theta \rightarrow \Delta(T^1\times T^2)$ tiene $\pi^1$ y $\pi^2$ como marginales.
Una estructura de información $S^*$ es una expansión de una estructura de información $S^1$ si existe una estructura de información $S^2$ tal que $S^*$ es una combinación de $S^1$ y $S^2$ .
Pregunta 1: ¿Es correcto decir que $S^*$ es al menos como información vo como $S^1$ ?
Pregunta 2:
El juego descrito anteriormente supone que, antes de recibir la señal en privado, cada jugador $i$ no sabe nada de lo que será la realización del estado. A esto lo llamo "nivel de información de base".
Dejemos que $\underline{S}$ denotan una estructura de información que es totalmente desinformativa, es decir, que no añade nada al nivel de información de base asumido (también llamado DEGENERATE en la p.26 del documento vinculado). En otras palabras, $\underline{S}$ consiste en
(a) para cada jugador $i$ un conjunto finito de señales $\underline{T}_i$ donde escribimos $\underline{T}\equiv \underline{T}_1\times \underline{T}_2\times ... \times \underline{T}_N$ .
(b) una distribución de señales $\underline{\pi}: \Theta \rightarrow \Delta(\underline{T})$ tal que $\underline{\pi}(\cdot|\theta)=\tilde{\pi}$ $\forall \theta \in \Theta$ para algunos $\tilde{\pi}\in \Delta(\underline{T})$ . En otras palabras, la probabilidad condicional es igual a la incondicional y la creencia de los jugadores sobre la distribución de la probabilidad del estado no se actualiza.
Dejemos que $\mathcal{S}$ denotan la colección de todas las estructuras de información posibles. Más concretamente,
$$ \mathcal{S}\equiv \{S| T \text{ is a separable metric space}, \text{ $ \pi:\Theta \rightarrow \Delta(T) $ is a probability measure on $ (T,\mathcal{B}(T)) $}\} $$ donde $\mathcal{B}(\cdot)$ denota el álgebra sigma de Borel.
Tenga en cuenta que $\underline{S}\in \mathcal{S}$ .
¿Es correcto decir que : $\forall S \in \mathcal{S}$ donde $S\equiv ((T_i)_{i=1}^N, \pi)$ existe una combinación $S^*\in \mathcal{S}$ de $\underline{S}$ y $S$ tal que $S^*$ y $S$ son informativamente equivalentes. En particular, se puede establecer $S^*\equiv ((\underline{T}_i\times T_i)_{i=1}^N, \underline{\pi}\times \pi)$ . Por lo tanto, cada $S\in \mathcal{S}$ es al menos tan informativo como $\underline{S}$ .
