Modelo GARCH(1,1) estándar con regresores externos

Question

Tengo una pregunta: ¿cómo es un modelo GARCH(1,1) estándar con regresores externos en las ecuaciones de media y varianza?

Sé que el modelo GARCH(1,1) estándar sin regresores externos tiene la siguiente forma: \begin{equation*} r_t = \mu + \epsilon_t \end{equation*} \begin{equation*} \epsilon_t = \sigma_t z_t \end{equation*} \begin{equation*} \sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \sigma_{t-1}^2 + \beta_1 \epsilon_{t-1}^2 \end{equation*} \begin{equation*} z_t \sim N(0, 1). \end{equation*} ¿Pero dónde debo incluir los mencionados regresores externos en la media y la varianza? ¿Y cómo queda el modelo entonces?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Un regresor externo en la especificación de la media puede ser añadido a la especificación de la media, es decir $$r_t = \mu + \varepsilon_t + \theta x_t $$ .

Se puede añadir un regresor externo en la especificación de la varianza, es decir $$\sigma^2_t = \omega + \alpha \sigma_{t-1}^2 + \beta \varepsilon_{t-1}^2 + \theta x_{t}$$