Creo que todo está relacionado con el concepto de medida neutra al riesgo $\mathbb{Q}$. Al derivar la ecuación de Black-Scholes utilizas la dinámica \begin{equation} dS(t)=\mu S(t)dt + \sigma S dW(t) \end{equation} donde $W$ es un movimiento browniano bajo la medida $\mathbb{P}$, y obtienes la siguiente EDP para el precio $f$ de un cierto derivado: \begin{equation} rS\frac{\partial f}{\partial S} +\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^2 f}{\partial S^2} =rf \end{equation} Ahora, la fórmula de Feynman-Kac dice que para una EDP de la forma \begin{equation} \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial t}(t,x) + \alpha(t,x)\frac{\partial f}{\partial x}(t,x) + \frac{1}{2}\beta^2(t,x)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t,x) = k(t)f(t,x) \\ f(T,x) = \Phi(x) \end{cases} \end{equation} tienes una solución que puede escribirse como expectativa con respecto a una medida particular $\mathbb{Q}$ \begin{equation} f(t,x) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_t^Tk(s)ds}\Phi(X)\Big|X(t)=x\right] \end{equation} donde $X$ tiene EDE: \begin{equation} dX(t)=\alpha(t,X)dt + \beta(t,X)d\overline{W}(t) \end{equation} donde $\overline{W}$ es un movimiento browniano $\mathbb{Q}$. Ahora, para igualar la ecuación de Black-Scholes a la EDP general que escribí, solo colocas $k(t)=r$, $\alpha(t,X)=rX$, $\beta(t,X)=\sigma X$ y renombras $X$ por $S$. En este punto puedes olvidar la especificación original de la dinámica de la acción y proceder calculando la expectativa para fijar el precio de tu derivado con la nueva que es: \begin{equation} dS=rSdt + \sigma Sd\overline{W}(t) \end{equation} Si deseas profundizar e investigar la relación entre estas dos dinámicas, puedes observar que podemos cambiar de la EDE original a la nueva cambiando el movimiento browniano de esta manera: \begin{equation} dW(t)=d\overline{W}(t) - \left(\frac{\mu - r}{\sigma}\right)dt \end{equation} Ahora, el teorema de Girsanov dice que dada esta relación entre los dos movimientos brownianos, las medidas $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ son equivalentes.
