¿Por qué no me sale bien esto? $\frac{d}{dt}\mathop{\mathbb{E}}\left[ e^{-\int_t^Tr(s)ds}|\mathscr{F}_t \right]$

Question

Dejemos que $r$ un proceso aleatorio definido por :

$$dr_t=\theta(t)dt + \sigma dW_t$$

$\theta$ es determinista en $t$ y $W$ un movimiento browniano.

No sé en qué se equivoca mi cálculo de abajo :

Dejemos que $R=\int r(s)ds$

entonces : $$\frac{d}{dt}\mathop{\mathbb{E}}\left[ e^{-\int_t^Tr(s)ds}|\mathscr{F}_t \right] = \mathop{\mathbb{E}}\left[ \frac{d}{dt} e^{-(R_T - R_t)}|\mathscr{F}_t \right] = \mathop{\mathbb{E}}\left[ r(t) e^{-(R_T - R_t)}|\mathscr{F}_t \right] = r(t) \mathop{\mathbb{E}}\left[ e^{-\int_t^Tr(s)ds}|\mathscr{F}_t \right]$$

Pero con respecto a esta pregunta Dinámica de enlaces en el modelo Ho Lee mi cálculo no es correcto

¿Alguna ayuda, por favor?

Answer 1

Se puede utilizar la integración estocástica por partes para resolver la integral dentro de la expectativa: $$\int_t^Tr_sds=Tr_T-tr_t-\int_t^Tsdr_s=(T-t)r_t+\int_t^T(T-s)\underbrace{dr_s}_{:=\theta(s)ds+\sigma dW_s}$$ Resuelve esta integral y luego toma la expectativa y resuelve la derivada. Para una respuesta completa, véase Derivación de Ho y Lee para el modelo de tipos cortos .