Dinámica de los bonos en la ciudad de Ho Lee modelo

Question

El corto de la tasa en el Ho-Lee modelo está dada por :

$$dr_t=\left( \frac{df(0,t)}{dt} +\sigma^2\derecho)dt + \sigma dW_t$$

Estoy tratando de encontrar la dinámica de los bonos dada por :

$$dP(t,T)/P(t,T)=r_tdt-\sigma(T-t)dW_t$$

Empecé desde :

$$P(t,T)=E_t[e^{-\int_t^T r_sds}]$$

y he aplicado Itô a la función $P(t,T)=\phi(t,r)$:

$$d\phi(t,r) = \frac{\partial \phi(t,r)}{\partial t}dt+\frac{\partial \phi(t,r)}{\partial r} dr_t+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2\phi(t,r)}{\partial r^2}(dr_t)^2$$

Yo calcula las derivadas :

$$\frac{\partial \phi(t,r)}{\partial t}=r_tP(t,T)$$

$$\frac{\partial \phi(t,r)}{\partial r} = -(T-t)P(t,T)$$

$$\frac{1}{2} \frac{\partial^2\phi(t,r)}{\partial r^2} = (T-t)^2P(t,T)$$

El montaje de todo lo que obtengo :

$$dP(t,T)/P(t,T) = r_tdt-(T-t)\sigma dW_t +\left[ \frac{1}{2}(T-t)^2\sigma^2-(T-t)\left( \frac{df(0,t)}{dt}+\sigma^2 \derecho) \right] dt $$

No sé cómo deshacerse de los últimos $dt$ plazo. Alguna Ayuda? O ¿puedo obtener los derivados mal? Lo comprobé varias veces, pero no veo donde está el problema viene de. Gracias

Answer 1

Al tomar la derivada parcial $\frac{\partial}{\partial t}$ en una esperanza condicional, no sólo el parámetro $t$ dentro de la expectativa debe ser considerado, la información en conjunto $\mathscr{F}_t$ también debe ser considerado.

Para esta pregunta en particular, basado en una respuesta a esta pregunta, \begin{align*} P(t, T) = e^{-(T-t)r_t - \int_t^T (T-u)\theta_u du + \frac{\sigma^2}{6}(T-t)^3}, \end{align*} donde \begin{align*} \theta_t &= \frac{df(0,t)}{dt} +\sigma^2t. \end{align*} A continuación, \begin{align*} \frac{\partial P(t, T)}{\partial t} &= P(t, T)\Big(r_t + (T-t) \theta_t -\frac{\sigma^2}{2}(T-t)^2\Big)\\ &= P(t, T)\Big(r_t + (T-t) \Big(\frac{df(0,t)}{dt} +\sigma^2t\Big) -\frac{\sigma^2}{2}(T-t)^2\Big). \end{align*} El resto es ahora sencillo.