Decisión sobre la función de producción "máxima":

Question

Se me ha presentado el siguiente problema:

$$y=3(x_3)^{\frac13}(\max\{x_1,8x_2\})^{\frac13}$$

Y el objetivo es maximizar el beneficio y minimizar el coste. En primer lugar, si los problemas son duales, ¿significa eso que el resultado será el mismo en variables como las demandas?

AÚN ASÍ, MI MAYOR PROBLEMA ES ESTE: Cuando te deshaces del max esto se convierte en un pedazo de pastel de Cobb Douglas. Pero no entiendo cómo hacerlo. Hasta ahora, todo lo que tengo es que esta función permite soluciones de esquina, por lo que no se resuelve sólo como una función de Leontieff. ¿Cómo se hace para elegir cada bien? También estoy seguro de que tiene que ver con los precios de los insumos $w_1$ y $w_2$

Answer 1

Sugerencia

Para maximizar los beneficios, o bien $x_1$ o $x_2$ (pero no ambos) debe ser cero. Si no es así, digamos que $x_1^*>x_2^*>0$ en el óptimo, entonces se podría aumentar el beneficio bajando el coste al reducir $x_2^*$ sin afectar a la producción y, por tanto, a los ingresos.

Dejemos que $z=\max\{x_1,8x_2\}$ . La función de beneficio puede escribirse como \begin{equation} p[3(x_3)^{1/3}(z)^{1/3}]-w_3x_3-c_zz,\tag1 \end{equation} donde \begin{equation} c_z= \begin{cases} w_1&\text{if }x_1>8x_2\\ w_2/8&\text{if }x_1<8x_2\\ \min\{w_1,w_2/8\}&\text{if }x_1=8x_2 \end{cases} \end{equation}

Resolver $(1)$ para la condición que determina el nivel óptimo de $z$ y comparar los costes de alcanzar este nivel utilizando $x_1$ o $x_2$ . Utilice el que suponga un menor coste.