Ajuste de precio de delta y gamma de Black-Scholes para una opción quanto

Question

Una opción quanto es un derivado con el activo subyacente y el precio de ejercicio denominados en una moneda, pero el instrumento en sí se liquida en otra moneda. Esto tiene consecuencias para el cálculo de los griegos.

El delta de BS mide la tasa de cambio del precio de la opción en relación con el cambio en el precio subyacente. La gamma de BS mide la tasa de cambio del delta de BS en relación con el cambio en el precio subyacente.

Un delta ajustado por precio (delta de PA) mide la tasa de cambio del precio de la opción (en moneda de liquidación) en relación con el cambio porcentual en el precio subyacente. La gamma de PA mide la tasa de cambio del delta de PA en relación con el cambio porcentual en el precio subyacente.

Según este enlace, la diferencia entre delta de PA y delta de BS es el precio de la opción (en BTC). Mi interpretación (con tasa de interés=0, USD y BTC como monedas):

¿También es posible determinar la diferencia entre gamma de BS y gamma de PA?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} Call_{\rm BTC}=\frac{1}{S}Call_{\rm USD}. \end{align*} El delta ajustado por prima $Delta_{PA}$ se define como el cambio de $Call_{\rm BTC}$ con respecto al cambio en el spot en BTC, es decir, \begin{align*} Delta_{PA} &= \lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta Call_{\rm BTC}}{\frac{\Delta S}{S}}\\ &=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta Call_{\rm USD}}{\Delta S} - \frac{1}{S}Call_{\rm USD}\\ &=Delta_{BS} - Call_{\rm BTC}. \end{align*} El gamma ajustado por prima $Gamma_{PA}$ se define como el cambio de $Delta_{PA}$ con respecto al cambio del spot, es decir, \begin{align*} Gamma_{PA} &= \lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta Delta_{PA}}{\Delta S}\\ &=Gamma_{BS} +\frac{1}{S^2}Call_{\rm USD}-\frac{1}{S} \lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta Call_{\rm USD}}{\Delta S}\\ &=Gamma_{BS} + \frac{1}{S}Call_{\rm BTC} -\frac{1}{S}Delta_{BS}\\ &=Gamma_{BS} - \frac{1}{S}Delta_{PA}. \end{align*} Véase también la página 19 de este documento; sin embargo, hay algunos errores tipográficos allí.

El propósito de tales definiciones es mantener las unidades. Por ejemplo, el delta siempre está en unidades de BTC, mientras que el gamma está en unidades de $({\rm BTC} \times {\rm BTC})/{\rm USD}$.