Modelo HJM Baxter Rennie: diferenciación del precio del activo descontado mediante Ito

Question

De Baxter y Rennie, página 145:

$Z(t,T) = exp(\int_{0}^{t}\Sigma(s,T)dW_s - \int_{0}^{T}f(o,u)du - \int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\alpha(s,u)duds)$

donde $\Sigma(t,T) = \int_{t}^{T}\sigma(t,u)du$

Cómo llegar de aquí a $d_tZ(t,T) = Z(t,T)(\Sigma(t,T)dW_t + (\frac{1}{2}\Sigma^2(t,T) - \int_{0}^{T}\alpha(t,u)du)dt)$

He intentado (basándome en la respuesta Baxter & Rennie HJM: diferenciar la integral de Ito ):

$Z_t = exp(-X_t)$ , donde $X_t = \int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\sigma(s,u)dudW_s + \int_{0}^{T}f(0,u)du + \int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\alpha(s,u)duds$

$X_t = f(t,W_t)$

Por lo tanto, $dX_t = \frac{\partial}{\partial{t}}f(t,W_t)dt + \frac{\partial}{\partial{W_t}}f(t,W_t)dW_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial{W_t}^2}f(t,W_t)d<W,W>_t$

Calculando $\frac{\partial}{\partial{t}}f(t,W_t)dt$ :

$\frac{\partial}{\partial{t}}(\int_{0}^{T}f(0,u)du) = 0$

$\frac{\partial}{\partial{t}}(\int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\sigma(s,u)dudW_s) = 0$

$\frac{\partial}{\partial{t}}(\int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\alpha(s,u)duds) = \frac{\partial}{\partial{t}}(\int_{0}^{t}\widetilde{\alpha(s,u)}ds)$ , donde $\widetilde{\alpha(s,T)} = \int_{0}^{T}\alpha(s,u)du$

$\frac{\partial}{\partial{t}}(\int_{0}^{t}\widetilde{\alpha(s,u)}ds = \widetilde{\alpha(t,T)}\frac{\partial}{\partial{t}}t + \widetilde{\alpha(0,T)}\frac{\partial}{\partial{t}}0 + \int_{0}^{t}\frac{\partial}{\partial{t}}\widetilde{\alpha(s,T)}ds$

$\frac{\partial}{\partial{t}}(\int_{0}^{t}\widetilde{\alpha(s,u)}ds = \widetilde{\alpha(t,T)} + 0 + 0$

Por lo tanto,

$\frac{\partial}{\partial{t}}f(t,W_t)dt = \widetilde{\alpha(t,T)}dt = \int_{t}^{T}\alpha(t,u)dudt$

Calculando $\frac{\partial}{\partial{W_t}}f(t,W_t)dW_t$ :

$\frac{\partial}{\partial{W_t}}(\int_{0}^{T}f(0,u)du) = 0$

$\frac{\partial}{\partial{W_t}}(\int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\alpha(s,u)duds) = 0$

$\frac{\partial}{\partial{W_t}}(\int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\sigma(s,u)dudW_s)$ : No sé cómo calcular este término. No estoy seguro de si podemos aplicar la regla integral de Leibniz ( https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule ) aquí, e incluso haciendo esto el valor resulta ser cero. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Esta es mi primera respuesta, así que por favor, tened paciencia. Pido disculpas de antemano por el terrible formato. Además, hay algunos errores tipográficos en tu mensaje que pueden hacer que las cosas sean más confusas.

La cuestión aquí es que $\int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\sigma(s,u)dudW_s$ es en sí mismo un proceso estocástico e intentar tomar su derivada parcial con respecto al tiempo (que se fija en $0$ en su pregunta, que dio lugar a los problemas posteriores) se evita haciendo lo siguiente:

Dejemos que $Q(t,x) = -x + \int_{0}^{T}f(0,u)du + \int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\alpha(s,u)duds$ y que $X_t = \int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\sigma(s,u)dudW_s$ Tenga en cuenta que esto es diferente a su $X_t$ .

Y entonces tenemos que $Q(t,X_t)$ es tal que $Z_t = exp(-Q(t,X_t))$ . También esto facilita las cosas ahora ya que al tomar las derivadas parciales de $Q(t,x)$ tendremos $\partial_xQ(t,x) = -1$ y $\partial_{xx}Q(t,x) = 0$

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Así que aplicando el lema de Ito, calculamos \begin{align} dQ(t,X_t) = & \partial_tQ(t,X_t)dt + \partial_xQ(t,X_t)dX_t + \frac{1}{2}\partial_{xx}Q(t,X_t)d\langle X_t,X_t \rangle \\ & = \int_{t}^{T}\alpha(t,u)dudt - \int_{t}^{T}\sigma(t,u)dudW_t \end{align}
donde se utilizó la definición de la integral de Ito para calcular $dX_t = d\int_{0}^{t}\int_{s}^{T}\sigma(s,u)dudW_s = \int_{t}^{T}\sigma(t,u)dudW_t$

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Ahora utilizamos el lema de Ito sobre $Z_t = f(Q(t,X_t)) = exp(-Q(t,X_t))$ (así $f = exp(-x)$ ).

Tenga en cuenta que $\partial_tf = 0$ , $\partial_xf = -exp(-x) = -f$ y $\partial_{xx}f = exp(-x) = f$ .

También la variación cuadrática se calcula como \begin{align} d \langle Q(t,X_t), Q(t,X_t) \rangle & = dQ(t,X_t)dQ(t,X_t) \\ & = (\int_{t}^{T}\alpha(t,u)dudt - \int_{t}^{T}\sigma(t,u)dudW_t) * (\int_{t}^{T}\alpha(t,u)dudt - \int_{t}^{T}\sigma(t,u)dudW_t) \\ & = (\int_{t}^{T}\sigma(t,u)dudW_t) * (\int_{t}^{T}\sigma(t,u)dudW_t) \\ & = (\int_{t}^{T}\sigma(t,u)du)^2*dW_t*dW_t \\ & = (\int_{t}^{T}\sigma(t,u)du)^2dt \end{align}

Así que podemos empezar a calcular $dZ_t = dZ(t,T)$ : \begin{align} dZ_t = & \partial_tf(Q(t,X_t))dt + \partial_xf(Q(t,X_t))dQ(t,X_t) + \frac{1}{2}\partial_{xx}f(Q(t,X_t))d \langle Q(t,X_t), Q(t,X_t) \rangle \\ & = -Z_tdQ(t,X_t) + \frac{1}{2}Z_td \langle Q(t,X_t), Q(t,X_t) \rangle \\ & = Z_t(-dQ(t,X_t) + \frac{1}{2}d \langle Q(t,X_t), Q(t,X_t) \rangle \\ & = Z_t(-\int_{t}^{T}\alpha(t,u)dudt + \int_{t}^{T}\sigma(t,u)dudW_t + \frac{1}{2}(\int_{t}^{T}\sigma(t,u)du)^2dt) \end{align}

Y finalmente usando $\Sigma(t,T) = \int_{t}^{T}\sigma(t,u)du$ tenemos \begin{align} d_tZ(t,T) = Z(t,T)(\Sigma(t,T)dW_t + (\frac{1}{2}\Sigma^2(t,T) - \int_{t}^{T}\alpha(t,u)du)dt) \end{align}

Obsérvese que el límite inferior del tercer término es $t$ a diferencia de su puesto.