Intercambiabilidad del vector aleatorio

Question

Espero que me puedan ayudar con esta pregunta bastante básica que me hice. Un vector aleatorio $(X_1,...,X_n)$ se dice que es intercambiable si tiene la misma distribución que el vector aleatorio permutado $(X_{\pi(1)},...,X_{\pi(d)})$ para cualquier permutación $(\pi{(1)},...\pi{(d)})$ .

¿Se puede decir que este es el caso si y sólo si la matriz de covarianza del vector aleatorio $(X_1,...,X_n)$ es simétrica (edición: la diagonal no es simétrica)? ¿O no es suficiente? No se me ocurre un contraejemplo...

Gracias desde ya, ¡cualquier pista es muy apreciada! :-)

Answer 1

@Wombat: Creo que lo mejor es pensarlo así. Supongamos que tenemos una serie temporal y la distribución conjunta de $n$ elementos (en un orden determinado y específico) de la serie es normal con media cero y alguna matriz de covarianza no diagonal $\Sigma$ .

Entonces, en este caso, la intercambiabilidad significa que usted podría tomar el $n$ elementos en cualquier orden y la distribución conjunta de los $n$ elementos sigue siendo el mismo. Obsérvese que la explicación que se da a continuación sólo es válida para el caso de suposición normal. En los casos no normales, tal vez se necesite la simetría. No lo sé.

De todos modos, volviendo al caso normal, tendrías una condición más fuerte que la simetría. Básicamente, necesitarás todos los elementos de la matriz de covarianza $\Sigma$ sean intercambiables sin afectar a la distribución. Esto implica un valor de covarianza constante en cada elemento de la matriz. Esto es más fuerte que la simetría porque los diferentes rezagos tienen la misma covarianza.

Answer 2

Tomemos X1=1 y X2=2:

¡¡¡La matriz de covarianza es cero (X1 y X2 son independientes) y X1, X2 tienen distribuciones diferentes!!!