Vega de la opción con parámetros derivados del mercado

Question

Supongamos que tengo un modelo de volatilidad de la forma $\sigma=f(X(x,y), Y(x, y))$ donde $f$ es alguna función de las variables $X, Y$ que se calibran mediante algún procedimiento de calibración con las volatilidades implícitas del mercado $x,y$ . Mi pregunta es sobre la expansión de PnL en términos de los griegos, principalmente, vega.

La vega se calcula tomando la derivada con respecto a todos los parámetros $X,Y,x,y$ tal que la vega PnL para una opción es $$Vega_{PnL}=\frac{\partial V}{\partial X}dX+ \frac{\partial V}{\partial Y}dY+ \frac{\partial V}{\partial x}dx+ \frac{\partial V}{\partial y}dy?$$ ¿O es en realidad el parcial con respecto a los parámetros $x,y$ Es decir, $Vega_{PnL}= \frac{\partial V}{\partial x}dx+ \frac{\partial V}{\partial y}dy$ ?

Habría pensado que sería el parcial con respecto a $x, y$ sólo.

Answer 1

Para llegar a P&L necesitamos primero las sensibilidades (derivadas parciales). Para simplificar, vamos a suponer que $V$ sólo consume volatilidad a través de $g$ que es P&L y Vega P&L son la misma cosa:

$$ V(x,y) = g(\sigma(x,y)) = g(f(X(x,y), Y(x,y))) = (g\circ f)(X(x,y), Y(x,y))= U(X(x,y), Y(x,y))$$

Tenga en cuenta que $$ V = U \circ (X, Y)$$

$$ \frac{\partial \sigma}{\partial x} = \frac{\partial f}{dX}\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial x} $$

$$ \frac{\partial \sigma}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial X}\frac{\partial X}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial y} $$

$$ \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial g}{d\sigma}\frac{\partial \sigma}{\partial x} $$ $$ \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial g}{d\sigma}\frac{\partial \sigma}{\partial y} $$

$$ \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial U}{dX}\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial U}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial x} $$

$$ \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial U}{dX}\frac{\partial X}{\partial y} + \frac{\partial U}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial y} $$

En el contexto de P&L, se utiliza la expansión/aproximación de Taylor:

$$ V(x,y) - V(x_0,y_0) = \frac{\partial V}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) + \frac{\partial V}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0) $$ $$ + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}(x_0,y_0) (x-x_0)^2 + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}(x_0,y_0) (y-y_0)^2 $$ $$+ 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) (x-x_0)(y-y_0) + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial x}(x_0,y_0) (x-x_0)(y-y_0)$$ $$+ ..., $$ que puede abreviarse notativamente como

$$ dV = \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}(dx)^2 + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}(dy)^2 + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}dxdy + 0.5 \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial x}dx dy + ...$$

Si se eliminan los términos de segundo orden, obtenemos lo habitual:

$$ dV = \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy $$

Tenga en cuenta que $$ \frac{\partial V}{\partial X}, \; \frac{\partial V}{\partial Y} $$ pueden ser anotaciones ambiguas.

Función de fijación de precios $U$ (diferente de $V$ ) cuyas "entradas" son $X$ y $Y$ como números observados directamente, tiene su propia cuenta de resultados: $$ dU = \frac{\partial U}{\partial X}dX + \frac{\partial U}{\partial Y}dY, $$ es decir $$ U(X,Y) - U(X_0,Y_0) = \frac{\partial U}{\partial X}(X_0,Y_0) (X-X_0) + \frac{\partial U}{\partial Y}(X_0,Y_0) (Y-Y_0) $$

Si queremos involucrar a $U$ de las sensibilidades en $V$ Para el cálculo de las pérdidas y ganancias de la empresa, utilizamos (de la lista anterior de aplicaciones de la regla de la cadena):

$$ V(x,y) - V(x_0, y_0) = \left(\frac{\partial U}{dX}(X_0,Y_0)\frac{\partial X}{\partial x}(x_0, y_0) + \frac{\partial U}{\partial Y}(X_0,Y_0)\frac{\partial Y}{\partial x}(x_0, y_0)\right) (x-x_0) + \left(\frac{\partial U}{dX}(X_0,Y_0)\frac{\partial X}{\partial y}(x_0, y_0) + \frac{\partial U}{\partial Y}(X_0,Y_0)\frac{\partial Y}{\partial y}(x_0, y_0)\right)(y-y_0), $$ donde $X_0 = X(x_0,y_0), Y_0=Y(x_0,y_0)$ .

Si queremos involucrar a $V$ de las sensibilidades en $U$ de P&L, utilizamos (asumiendo la invertibilidad): $$ \begin{bmatrix} \frac{\partial U}{dX} \\ \frac{\partial U}{dY} \end{bmatrix}(X_0,Y_0) = \begin{bmatrix} \frac{\partial X}{dx} & \frac{\partial X}{dy} \\ \frac{\partial Y}{dx} & \frac{\partial Y}{dy} \end{bmatrix}^{-1}(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial V}{dx} \\ \frac{\partial V}{dy} \end{bmatrix}(x_0,y_0) $$

Answer 2

Usted observa/marca las volatilidades implícitas $x$ y $y$ . Su motivación para utilizar un modelo paramétrico para el vol es calcular el precio justo $V$ de algún instrumento que necesite volatilidad implícita $\sigma=z$ que no es directamente observable - tal vez algún otro vencimiento o dinero o tenor subyacente. (Seguiré utilizando $x,y,z$ pero puedes tener muchos más vols observables y no observables). Se interpola (o incluso se extrapola) $z$ de $x$ y $y$ Utilizando su modelo, y haciendo algunas suposiciones sobre la forma de su superficie/cubo de volatilidad. (Puede parecer que está utilizando $X,Y$ para conseguir $V$ directamente y luego se necesita un poco de trabajo extra para extraer el $z$ .)

Si su libro tiene la conveniente propiedad de que la suma de sensibilidades de $V$ a cada vol. observable (suponiendo que se bate un vol. observable a la vez y no se cambian los demás) $\approx$ la suma de las sensibilidades de $V$ a cada vol (observable o no, asumiendo que bacheamos un punto de vol a la vez y no cambiamos otros) $\approx$ la sensibilidad de $V$ de todos los vols que se golpean en paralelo, entonces mi sugerencia es denunciar $z$ La sensibilidad de $V$ a $z$ la utilización del límite de riesgo de mercado a la sensibilidad de $V$ a $z$ y las pérdidas y ganancias atribuibles al cambio de $z$ como el producto del cambio en $z$ del día anterior $\times$ la sensibilidad previa de $V$ a $z$ . (Nada tan sencillo puede funcionar bien para productos más complicados, en los que la vega es materialmente no lineal, y se necesitan riesgos de tercer orden, gamas cruzadas entre puntos de vol, etc.)

También puede complementar estas cifras informando, como propuso, de las sensibilidades de $V$ y de $z$ a cada uno de los observables, suponiendo que los demás observables no se modifican; y también a sus parámetros internos del modelo $X,Y$ . Es muy probable que alguien que busque entender la causa de las pérdidas y ganancias prefiera $z$ -a los observables, pero esta información adicional puede ayudar aún más.

Además, como consejo/explicación práctica de pérdidas y ganancias, muchos productos tienen gammas cruzados sorprendentemente importantes entre el vol, el subyacente y el tiempo. Si se experimenta y se decide que la inclusión de estas gamas cruzadas en la explicación de las pérdidas y ganancias reduciría las pérdidas y ganancias no explicadas lo suficiente como para que merezca la pena el esfuerzo, entonces para las gamas cruzadas se puede suponer que todos los vols se mueven en paralelo, y no profundizar en la estructura de la superficie/cubo del vol.