Replicar una opción de venta cuando la venta en corto del subyacente no está permitida

Question

Supongamos que vendemos una opción de venta con vencimiento $T$ , huelga $K$ y la tarifa $P_t=v(t, S_t, T, K, ...)$ . La cartera de réplica consiste en mantener $\alpha_t = \frac{\partial{P}}{\partial{S}}=:\Delta_t$ unidades de stock, $S_t$ y $\beta_t = (P_t-\frac{\partial{P}}{\partial{S}} S_t)/M_t$ unidades de la cuenta del mercado monetario o del bono sin riesgo $M_t$ , donde $dM_t=rM_t dt$ . En el caso de una opción de venta, la delta es negativa, por lo que ir en largo en la cartera de réplica significa ir en corto en las acciones y mantener el efectivo.

Supongamos ahora que no podemos vender directamente en corto ninguna acción, pero sí podemos comprar una acción altamente correlacionada inversamente. ¿Es posible encontrar una estrategia de réplica todavía? Informalmente, creo que se podría tomar el valor total en dólares de la posición corta dividido por el precio de la acción inversamente correlacionada: $\alpha_2 =-\Delta \cdot S/S_2$ para obtener el número de unidades a comprar de la segunda acción inversamente correlacionada, suponiendo que la correlación es $\rho=-1$ y si no, tendríamos que tener en cuenta la correlación de alguna manera... Supongo que de forma rigurosa se trataría de resolver $(\alpha, \beta)$ en $$\alpha_t \, dS_2(t)+ \beta_t \, dM(t)=dP(t),$$ suponiendo que $\pi_t:= \alpha_t S_2(t)+\beta_t M(t)$ es una cartera autofinanciada, donde $$dS_2(t)=\mu_2 S_2(t) dt +\sigma_2S_2(t)\left(\rho dB_1(t)+\sqrt{1-\rho^2}dZ(t)\right),$$ y $B=(B_t)$ y $Z=(Z_t)$ son movimientos brownianos independientes en los que el primero impulsa $S_1(t)$ es decir $dS_1(t)=\mu_1 S_1(t)dt+\sigma_1 S_1(t) dB_1(t)$ . Ahora, cuando podemos cubrirnos con el subyacente, $S_1$ sin restricciones, simplemente utilizamos la EDP de precios para escribir $dP=(P-S_1\Delta)rdt+\Delta dS_1$ y puede identificar $(\alpha, \beta)$ como se indica más arriba. Por lo que veo, esto no funciona en el nuevo escenario y aquí es donde estoy atascado.

En resumen, mi pregunta es ¿Cómo, si es que es posible, podemos replicar una opción de venta cuando la venta en corto del subyacente no está permitida pero podemos operar con acciones inversamente correlacionadas? Por favor, comentad si he cometido algún error en mi configuración o en mis suposiciones, gracias.

Actualización 17/03/2020

Los experimentos numéricos en R bajo la dinámica de Black-Scholes sugieren que $\alpha_t = \gamma\frac{\sigma_1 S_1(t) \Delta_t}{\sigma_2 S_2(t) \rho}$ para alguna proporción $\gamma$ es un enfoque ad hoc que funciona, con $\beta=\gamma(P_t-\Delta_t S_1(t))/M_t$ . Pero no he verificado que esto se autofinancie, etc. ni tengo pruebas formales de que replique $P_t$ o cualquier criterio objetivo de selección $\gamma$ todavía. Así que mis dudas/preguntas siguen vigentes.

Answer 1

cómo, si es que es posible, podemos replicar una opción de venta cuando cuando la venta en corto del subyacente no está permitida, pero podemos inversamente correlacionadas?

Bien, lo primero es lo primero. Tu cartera autofinanciada falla porque tienes dos factores de riesgo diferentes (movimientos brownianos), por lo que nunca podrás replicar la opción de venta sin involucrar al subyacente. Así que la cartera no será sin riesgo por mucho que lo intentes. Aunque no se puede estar sin riesgo, sí se puede reducir el riesgo utilizando una acción correlacionada negativamente, pero se seguirá sangrando PnL al no poder cubrirse perfectamente (ni mucho menos). Esto se debe a que con $\rho \neq -1$ sólo podrá sustituir parcialmente la dinámica de $S_1$ con $S_2$ .

Sabes que puedes cubrir perfectamente la Opción con $n_1=\Delta_t$ unidades de la misma. ¿Cuántas unidades de $S_2$ ¿hay que hacer una cobertura/sustitución? $S_1$ ?

$$ dV = n_1 \cdot dS_1 - n_2 \cdot dS_2 = \{\text{insert equatons for dS_1 and dS_2}\} $$ Tomar la varianza de ambos lados, diferenciar wrt $n_2$ y encontrar una varianza mínima. Se obtiene que $$ n_2^*(t) = \frac{n_1(t)\sigma_1S_1(t)}{\sigma_2S_2(t)}\rho = \frac{\sigma_1S_1(t)\Delta_t}{\sigma_2S_2(t)}\rho $$

Ahora inserte esta solución en su ecuación diferencial para su cartera compuesta por la Opción, la cuenta monetaria y la acción $S_2$ y obtendrá la dinámica de esta cartera (que no será sin riesgo).

Se dará cuenta de que necesita una correlación negativa bastante grande para poder cubrirse bien, lo que será difícil de encontrar.

Un enfoque alternativo, que también se utiliza mayoritariamente en la práctica para cubrir el riesgo de mercado, es el uso de futuros sobre acciones individuales o sobre índices para cubrirse. Ambos son más baratos (en lo que respecta a las comisiones) (sobre todo el índice) y no tienen ninguna restricción de venta en corto, además de proporcionar apalancamiento, ya que principalmente sólo hay que desembolsar dinero en efectivo para el margen ~20%.

Como se ha mencionado en los comentarios, también se pueden utilizar opciones de compra sobre el mismo subyacente para limitar el riesgo de la venta. Por ejemplo, puedes comprar una call con el mismo vencimiento y strike, utilizando la paridad put-call recuperas la acción, y te cubres con un futuro de renta variable, lo que significa que ya no necesitas cubrirte dinámicamente con tanta frecuencia debido a la eliminación de la mayor parte de la convexidad.