2 acciones, sin cortocircuito contra cortocircuito. (preguntas concretas, media-varianza)

Question

Agradecería que me ayudaran con las siguientes preguntas.

Supongamos que hay dos acciones $A$ y $B$ con rendimientos esperados $E_A, E_B >0$ y volatilidades $v_A, v_B >0$ respectivamente. Además, supongamos que su correlación es $\rho_{AB} = \rho <0$ . Dada una cantidad de dólares $D>0$ para invertir sin cortocircuito ¿Cómo debería $D$ invertir en $A,B$ para que i) se maximice la rentabilidad esperada? ii) se minimice la volatilidad global?

Mi segunda pregunta: las mismas preguntas (i) y (ii) pero ahora con el cortocircuito permitido.

Intuitivamente, la volatilidad es una desviación estándar del precio (o rendimiento) de una acción durante un periodo de tiempo fijo. Por lo tanto (para un periodo de tiempo fijo), en el caso $E_A > E_B$ y $v_A>v_B$ Esperaría un "término medio" determinado por la comparación de los ratios $E_A/v_A$ con $E_B/v_B$ .

Por último, ¿cómo puede influir el ratio de Sharpe en estas cuestiones? (¿Mediría la "fuerza" de una estrategia?) Además, ¿cómo enfocar esta cuestión para $n>2$ acciones $A_1,\ldots, A_n$ ? Yo pensaría que para establecer $A = A_1$ y $B = A_2 +\cdots + A_n$

Se aprecian tanto las respuestas concretas (matemáticas) como las referencias generales para abordar estos problemas.

Answer 1

La respuesta concreta (general) a la parte (ii) de mi pregunta parece estar contenida en la ecuación 8 del siguiente enlace: http://www.columbia.edu/~ks20/FE-Notes/4700-07-Notes-portfolio-I.pdf

En particular, la interpretación $\sigma$ como la volatilidad, tomemos por ejemplo $E_A=0.10,\sigma_A=0.15,E_B=0.25,\sigma_B=0.40$ y $\rho =−0.2$ .

Entiendo que alrededor del 83% del dinero debe invertirse en $A$ y el 17 por ciento para $B$ . Es decir, si $D = 1000$ , luego alrededor de las 830 en $A$ y 170 en $B$ . En este caso no es necesario el cortocircuito, ya que $\rho <0$ .

La rentabilidad, calculada a partir de la Ecuación (4) en el pdf anterior, en este caso es de aproximadamente $+125$ en beneficio.

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Actualización. Con respecto a (i). Por favor, corrígeme si me equivoco, pero en cuanto a "maximizar el rendimiento" parece que queremos maximizar la siguiente función: $R(a) = aE_A + (1-a)E_B$ . Desde $R(a)$ es lineal en $a$ entonces vemos que $\max R(a)$ con sujeción a $0\leq a \leq 1$ , se produce en $a = 1$ si $E_A\geq E_B$ o bien en $a = 0$ si $E_A < E_B$ . Sin embargo, el enfoque debería ser diferente si estamos maximizando la rentabilidad con respecto a un nivel específico de riesgo o volatilidad en la cartera deseada (se agradecería la ayuda en este último punto).

Answer 2

En primer lugar, para responder a su pregunta de la parte (i), esta parte de la pregunta no tiene no tiene sentido - su rendimiento esperado es ilimitado y es asintóticamente lineal con respecto al riesgo.

Dejemos que ${\bf w}\in\mathbb{R}^{2}$ denotan su vector de pesos, $\Omega$ denotan la matriz de covarianza y $\iota$ denotan un vector de exposición unitario (definido por $\iota_{j}:=1\ \forall j, j \in \mathbb{Z}^{*}$ ). Lo tenemos:

$ \mu_{P}={\bf w}\cdot\mu=\sum w_{i}\mu_{i} $

$ \sigma_{P}^{2}={\bf w}^{T}\Omega{\bf w}=\sum_{i\neq j}w_{i}w_{j}\sigma_{i}\sigma_{j}\rho_{ij} $

$n\in\mathbb{Z}^{*}$ restricciones de igualdad de la forma $g_{k}\left({\bf w}\right)=c,\ c\in\mathbb{R},k=1,...,n$ se imponen. Definimos el Lagrangiano:

$ \mathcal{L}\left({\bf w},k_{1},...,k_{n}\right):=\dfrac{1}{2}{\bf w}^{T}\Omega{\bf w}+k_{1}g_{k}\left({\bf w}\right)+...k_{2}g_{k}\left({\bf w}\right) $

Por ejemplo, para una única restricción que esté totalmente invertida, se resuelven los multiplicadores de Lagrange para:

$ \mathcal{L}\left({\bf w},l\right)=\dfrac{1}{2}{\bf w}^{T}\Omega{\bf w}+l\left(1-{\bf w}\cdot\iota\right) $

A continuación, puede encontrar la cartera de mínima varianza (volatilidad):

$ {\bf w}_{min}=l\Omega^{-1}\iota=\dfrac{\Omega^{-1}}{\iota^{T}\Omega^{-1}\iota} $

Esto responde a su pregunta de la parte (ii).

En cuanto a su pregunta restante sobre el cortocircuito, esto podría ser expresado como una restricción de desigualdad ${\bf w}\geq{\bf 0}$ para ${\bf w},{\bf 0}\in\mathbb{R}^{2}$ . Entonces, se puede formular esto como un problema clásico de programación no lineal y resolver las condiciones necesarias de primer orden (condiciones de Karush-Kuhn-Tucker ).