relación entre el coeficiente de averson de riesgo y el ratio máximo de Sharp en el contexto de Black-Litterman

Question

El modelo BL calcula los rendimientos implícitos basándose en la optimización inversa, cuyo objetivo es:

$${\underbrace U_{{\rm{investor's \ risk \ utility}}} \buildrel \Delta \over = {\bf{w}}_M^T{\bf{\Pi }} - \frac{\delta }{2}{\bf{w}}_M^T{\bf{\Sigma w}}_M^{}}$$

Una mención aquí podemos calcular el parámetro de aversión al riesgo multiplicando ambos lados de ${\bf{\Pi }} = \delta \times {\bf{\Sigma }} \times {\bf{w}}_M^{}$ con ${{\bf{w}}_M^T}$ , para dar salida a la siguiente relación:

$$ \delta = \frac{{Sharp \ Ratio}}{{\sqrt {{\bf{w}}_M^T{\bf{\Sigma w}}_M^{}} }}$$

Como sabemos

$$Sharp \ Ratio= \frac{{\bf{\Pi }}}{{\sqrt {{\bf{w}}_M^T{\bf{\Sigma w}}_M^{}} }} = \frac{{\mu _M^{} - {r_f}}}{{\sigma _M^{}}}$$

Sin embargo, no sé cómo podemos llegar desde ${\bf{w}}_M^T{\bf{\Pi }} = \delta {\bf{w}}_M^T{\bf{\Sigma w}}_M^{}$ a la relación anterior.

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Referencia: https://www.mathworks.com/help/finance/black-litterman-portfolio-optimization.html

Answer 1

Resolverlo algebraicamente:

Como se ve en la referencia proporcionada anteriormente ( justo encima de " 1) " ), la formulación general para el esquema de optimización de la cartera de Markowitz sin restricciones, viene dada por:

\begin{align} &\text{arg}\max_{w} \; w^T\mu-\frac{\delta}{2} w^T\Sigma w.\\ \end{align} En ausencia de cualquier restricción, el esquema de optimización anterior tiene la solución de forma cerrada:

$w = \frac{1}{\delta} \Sigma^{-1}\mu$ .

Ahora, resolviendo el exceso de rendimiento esperado $\mu$ y vemos algo reconocible, $\mu = \delta \Sigma w$ . En esencia, si las ponderaciones son iguales a las del mercado, $w=w_m$ entonces el exceso de rentabilidad de equilibrio implícito es igual al exceso de rentabilidad esperado, $\Pi = \mu$ ( _esto también está escrito aquí en la página 5_ ).

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Las derivaciones:

Ahora, dejemos que $\Pi = \delta \Sigma w_m$ sea el implícito exceso de de equilibrio, multiplicando ambos lados por $w^T_m$ nos encontramos con que:

\begin{equation} w^T_m \Pi = \delta w^T_m\Sigma w_m \qquad \iff \qquad \delta = \frac{w^T_m \Pi}{ w^T_m\Sigma w_m} \end{equation}

Como estamos trabajando con las ponderaciones del mercado, implica que $\Pi = \mu$ y así podemos hacer los siguientes cálculos algebraicos:

\begin{align*} \delta &= \frac{w^T_m \Pi}{ w^T_m\Sigma w_m} \\ &= \frac{w^T_m \mu}{ w^T_m\Sigma w_m}\\ &= \frac{\frac{w^T_m \mu}{\sqrt{w^T_m\Sigma w_m}}}{ \sqrt{w^T_m\Sigma w_m}}\\ &=\frac{\text{Sharpe}}{\sigma_m}, \end{align*}

que es la misma expresión que aparece en su referencia. Espero que esto proporcione alguna ayuda .