¿Es justo suponer que $(ud=1)$ en el modelo de valoración de opciones del árbol binomial?

Question

He discutido con mi colega sobre por qué una suposición general $$ud=1$$ en el modelo de valoración de opciones del árbol binomial sería necesario?

Lo tomo como una simplificación del problema, de lo contrario, habrá más nodos intermedios en el árbol, que será difícil de calcular. Mientras que mi colega insiste en que ya que el subyacente es a menudo lognormal con 0 media, $ud=1$ eran una suposición justa.

Creo que su explicación es aceptable. La pregunta, ¿hay alguna otra razón para hacer $ud=1$ ¿Supuesto?

Answer 1

No necesitas $ud=1.$ De hecho, actualmente existen unos 30 árboles binomiales que convergen a Black--Scholes en el límite de pasos grandes. La mayoría de ellos no tienen $ud=1.$ Todo lo que necesitas es

$$ d < e^{r \Delta t} < u $$

El árbol se recombina siempre que $u$ y $d$ no cambian de un paso a otro.

Véase mi libro More Mathematical Finance para una revisión completa y una clasificación de los árboles binomiales.

Answer 2

La condición

$$ud=1\text{, or equivalently }u=1/d$$

es necesario para garantizar la convergencia de la media del árbol binomial $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$ a valores no finitos cuando $n$ (número de pasos) llega al infinito.

Cox-Rubinstein-Ross mostraron en su famoso papel que para lograr esto, debemos tener:

$$u=e^{\sigma\sqrt{t/n}}\text{, }d=e^{-\sigma\sqrt{t/n}}$$ respectivamente, que se mantiene exactamente: $$ud=1.$$ También podemos elegir $\mu$ y $\sigma$ para que encaje $u$ y $d$ respectivamente, por lo que $ud=1$ es la condición actual.

Extracto del documento: