Demuestre que el algoritmo binomial implica el precio libre de arbitraje en t=0 de una demanda T

Question

En la obra de Tomas Bjork Teoría del arbitraje en tiempo continuo (o aquí ), $\exists$ estas proposiciones

¿Cómo se deduce la primera fórmula del algoritmo? Me sale que $\Pi(0;X) = V_0(0)$ pero no entiendo muy bien qué $E^{Q}[X]$ significa... que es igual a $q_uu+q_dd$ ? De todos modos, utilizando el algoritmo que obtuve $V_0(k) = \frac{1}{(1+R)^T} \sum_{l=0}^{T} V_T(k+l)q_u^{T-l}q_d^{l}$ ...es $\sum_{l=0}^{T} V_T(l)q_u^{T-l}q_d^{l}$ se supone que es $=q_uu+q_dd$ ?

Answer 1

Creo que esta es la forma que propone Björk, sin embargo creo que "mi" forma de abajo es más elegante. El truco en el caso de Björk es darse cuenta de que en cada "iteración" obtenemos un valor expirado:

$$V_0(0) = \frac{1}{1+R}\left(q_u V_{1}(1) + q_d V_1(0) \right) \\ = \frac{1}{(1+R)^{2}} \left( q_u^2 V_2(2) + 2q_uq_d V_2(1) + q_d V_2(0) \right) \\ = \frac{1}{(1+R)^{2}}E^Q[V_2].$$

Continuando de la misma manera se llega a

$$V_0(0) = \frac{1}{(1+R)^{T}}E^Q[V_T],$$

Sin embargo, para que esto sea formal debes hacer algún tipo de argumento de inducción.

Mi método :

Mis métodos no utilizan Propuesta 2.24 sino el hecho de que ya conocemos el Modelo Binomial de un solo periodo y la Ley de la expectativa total. Ya sabemos que Propuesta 2.25 es cierto si $T=1$ ya que esto se reduce al modelo Binomial de un solo periodo. Por lo tanto, supongamos que $T \geq 2$ y asumir que Propuesta 2.25 es válida para $T-1$ periodos. Cuando sabemos de la hipótesis de la inducción que.

$$ \Pi(1; X) = \frac{1}{(1+R)^{T-1}}E^Q[\Phi(S_T)|Z_1] $$

Pero

$$ \Pi(0; X) = \frac{1}{(1+R)} E^Q[\Pi(1; X)],$$

y por lo tanto

$$ \Pi(0; X) = \frac{1}{(1+R)} E^Q[\Pi(1; X)] = \frac{1}{(1+R)^{T}} E^Q[E^Q[\Phi(S_T)|Z_1]] \\ = \frac{1}{(1+R)^{T}} E^Q[\Phi(S_T)].$$

Con esto concluye la prueba de Propuesta 2.25

¿Qué hace $E^Q[X]$ medio:

Si $Z_1,...,Z_T$ son variables aleatorias independientes

$$E[f(Z_1,...,Z_T)] = \sum_{z_1,...,z_T=\text{u or d}} f(z_1,...,z_T)P(Z_1=z_1)\cdots P(Z_T=z_T) \\ = \sum_{z_1,...,z_T=\text{u or d}} f(z_1,...,z_T)p_{z_1} \cdots p_{z_T}. $$

Esta suma significa que sumamos sobre todos los resultados/caminos posibles. Dado que a menudo utilizamos una medida de probabilidad martingala/neutral al riesgo, es conveniente introducir la notación para denotar la expectativa bajo la medida de probabilidad $Q$ .

$$E^Q[f(Z_1,...,Z_T)] = \sum_{z_1,...,z_T=\text{u or d}} f(z_1,...,z_T)Q(Z_1=z_1)\cdots Q(Z_T=z_T) \\ = \sum_{z_1,...,z_T=\text{u or d}} f(z_1,...,z_T)q_{z_1} \cdots q_{z_T}.$$

En su caso $X=\Phi(S_T)$ que es una función de $Z_1,...Z_T$ . Tenga en cuenta también que $S_T = su^Yd^{T-Y}$ donde $Y$ es el número de movimientos ascendentes. La suma anterior sobre todos los resultados también puede escribirse como en Björk, utilizando coeficientes binomiales:

$$E^Q[f(Z_1,...,Z_T)] = \sum_{z_1,...,z_T=\text{u or d}} f(z_1,...,z_T)q_{z_1} \cdots q_{z_T} \\ = \sum_{j=0}^T {T \choose j}q_u^j q_d^{T-j}\Phi(su^kd^{T-k})$$ .

Espero que todo se compruebe, ¡estoy acostumbrado a una notación diferente cuando trabajo con el Modelo Binomial!