Desigualdad de Jensen para los rendimientos de las posiciones cortas

Question

Esto me desconcierta. Digamos que tenemos un activo A, que en el día t+1 rinde un 1%, y luego en el día t+2 vuelve a rendir un 1%.

Si invierte 1 dólar en A el día t (toma una posición larga), el día t+2 habrá ganado:

1*(1+0.01)*(1+0.01)-1 = 1.0201 - 1 = 2.01%

Ahora bien, una posición corta en el activo A debería rendir un -1% en el día t+1 y un -1% en el día t+2. Por lo tanto, si tiene una posición corta de 1 dólar en A el día t, el día t+2 habrá ganado:

1*(1-0.01)*(1-0.01)-1 = 0.9801 - 1 = -1.99%

La diferencia de magnitud entre estos dos rendimientos es la desigualdad de Jensen. Pero lo que realmente me confunde es que creo que los beneficios obtenidos de la posición larga deberían compensarse exactamente con las pérdidas de la posición corta, ya que de lo contrario se estaría creando dinero de la nada. ¿Qué es lo que me falta?

Answer 1

En pocas palabras, este es el problema del "arrastre de la varianza". La mecánica de cómo se pone en corto algo importa, y es relevante para la discusión de los ETFs apalancados/inversos que se comportan de manera diferente a las posiciones clásicas/vanilla.

Considere un futuro XYZ a 100. Un día después, sube un 1%, a 101. Dos días después, vuelve a subir un 1%, a 102,1.

Si voy en largo, obtengo 2,1 de beneficio. Si voy en corto, tengo que recomprar a 102,1, lo que supone una pérdida de 2,1. Es igual y opuesto. No hace falta ninguna desigualdad.

El problema de las estrategias que se apalancan de forma continua y sistemática (que no sea +1x) es que tienen que reequilibrar. De lo contrario, después del primer día ya no estarán apalancadas de la misma manera que al entrar.

Si estoy 1x corto, entonces al final del día 1, tengo activos de 99 y un delta de mercado de -101. Me he puesto 1,0202 veces corto. Para seguir estando 1x corto, tengo que recomprar 2, para que mis activos sean 99, la exposición -99 en el día 2. Su "desigualdad" no tiene en cuenta este ajuste. La "pérdida de pérdidas y ganancias" aquí es la de la contraparte en el día 2. El aumento del 1% en una posición de 2 equivale a los 20 puntos porcentuales que te faltan en el ejemplo anterior.

El problema habitual en este caso no es que los rendimientos puedan desaparecer en el éter (por las razones anteriores). Se trata más bien de un desajuste temporal, que a menudo no se aprecia.

Considere un futuro ABC. Tiene un 50% de posibilidades de subir o bajar un 10% cada mes.

Así que eso es un:

• 25% de probabilidad de up&up = 121
• 50% de posibilidades de subir y bajar = 99
• 25% de probabilidades de bajar y bajar = 81

VAN = 100, pero claramente en el largo plazo, su CAGR esperada es negativa, porque 1,1^0,5 * 0,9^0,5 <1.

Para tener una TACC esperada de cero, hay que creer que existe la misma probabilidad de obtener un 10% de ganancias y un 9,0909% de pérdidas (es decir, 1/(1+10%)). Si se lanza la moneda con una frecuencia infinita, E() = 1.

Excepto: 25% * 121 + 50% * 100 + 25% * 82,6 = 1,009. Una moneda geométricamente justa es aritméticamente favorable; mientras que una moneda aritméticamente justa es geométricamente desfavorable. Lo cual es su verdadera desigualdad. La diferencia entre las dos medias es (con la inevitable advertencia gaussiana) medio sigma al cuadrado. De ahí el término "arrastre de varianza".

Salvo a efectos de venta, vender un futuro sobre un índice es hacerlo aritméticamente, mientras que comprar un ETF inverso es hacerlo geométricamente. Están relacionados y son coherentes con la dirección, pero no son lo mismo.

Espero que esto tenga sentido.