Probabilidad condicional de que el movimiento browniano (con deriva y escala) alcance la barrera

Question

Estoy tratando de entender el precio de las opciones de barrera, y estoy considerando el movimiento browniano $\mathrm{d}X_t=a\mathrm{d}t+b\mathrm{d}W_t$ , $a$ y $b$ constante. Lo estoy intentando:

1. derivar la distribución de $X_{T/2}$ dado $X_T$ y $X_0$ ;

2i) demostrar que la probabilidad $\mathbb{P}\left(\inf_{[t_1,t_2]}X_t<L\Big|X_{t_1},X_{t_2}\right)=\mathrm{exp}\left[-\frac{2(X_{t_1}-L)^+(X_{t_2}-L)^+}{b^2(t_2-t_1)}\right]$ y

ii) encontrar  $\mathbb{P}\left(\sup_{[t_1,t_2]}X_t>U\Big|X_{t_1},X_{t_2}\right)$ .

Para la 1, ¿hay alguna forma mejor de hacerlo que calcular la densidad condicional? Intenté usar el enfoque que uno usaría para un movimiento browniano sin deriva, pero terminé con múltiples términos cruzados de los que no puedo deshacerme. Para 2i y ii, ¿cómo se derivarían? Los textos que he leído mencionan el principio de reflexión, y entiendo que la densidad condicional puede imaginarse como la fracción de las trayectorias que chocan con la barrera, pero realmente no entiendo mucho al respecto, sobre todo cuando el $(\cdot)^+$ los operadores entran. Se agradece cualquier ayuda y rigor. Gracias.

Answer 1

Para la primera parte de tu pregunta, la respuesta corta es no, calcular la densidad condicional es una forma muy larga de hacerlo. Es posible, pero no es la más fácil. Aquí está el esquema para una versión más corta. Observamos que $(X_{T/2},X_{T})$ es un vector gaussiano conjunto con media $\mu = (X_0 + aT/2,X_0 + aT)$ y la matriz de varianza-covarianza $$ \begin{pmatrix} b^2 T/2 & b^2 T/2 \\ b^2 T/2 & b^2 T \end{pmatrix} $$

La distribución condicional de un elemento de un vector gaussiano sobre otro es gaussiana. Por tanto, la distribución condicional de $X_{T/2} \vert X_T$ es gaussiano. La media y la varianza de esta distribución pueden expresarse en términos de $X_T, X_0, \mu,\Sigma$ . Se pueden encontrar detalles en muchos lugares, por ejemplo aquí . La media condicional en particular es sólo una fórmula de regresión lineal tan fácil de recordar

$$ \mathrm{E}(X_{T/2} \vert X_T) = X_0 + aT/2 + \beta (X_T - aT - X_0) $$ donde $$ \beta = \frac{b^2 T/2}{b^2T} = \frac{1}{2} $$ por lo que se simplifica a $$ \mathrm{E}(X_{T/2} \vert X_T) = (X_0 + X_T)/2 $$ La varianza condicional se calcula de forma similar (véase el enlace anterior)

Curiosamente, la media condicional y, de hecho, toda la distribución condicional no depende de la deriva $a$ y es el mismo que para el movimiento browniano estándar con $a=0$ El llamado puente browniano.

El Q2 es bastante más complicado, deberías buscarlo en cualquier libro de texto de cálculo estocástico decente (Karatzas & Shreve es mi favorito). Como puedes ver, el lado derecho es independiente de la deriva $a$ . Nuestra discusión para Q1 demuestra (aunque no llega a ser una prueba formal) por qué es así: una vez que se "fija" el inicio y el final de un movimiento browniano, el hecho de que tenga una deriva (constante) deja de ser relevante.

En cuanto a su punto específico en cuanto a lo que $(...)^+$ términos están haciendo en la fórmula. Esto es sólo un atajo conveniente para tener una fórmula para diferentes configuraciones de $X_{t_1}$ , $X_{t_2}$ y $L$ . Por ejemplo, si $X_{t_1} < L$ entonces la lhs es trivialmente 1, y la rhs es $1$ también porque $(X_{t_1) - L)^+ =0 $ en este caso.