¿Por qué $\hat{\epsilon}'\hat{\epsilon}$ de un modelo de factores miden el riesgo?

Question

$\hat{\epsilon}'\hat{\epsilon}$ del modelo de mercado: $R_{it} - \hat{\alpha} - \hat{\beta}R_{mt} = \hat{\epsilon}$ o de un modelo de factores como el modelo de 3 factores de Fama-French, se utiliza a menudo en la literatura para capturar el riesgo idiosincrático de las acciones $i$ .

¿Qué riesgo mide esto? ¿A quién le importa que las perturbaciones sean de alta varianza? Lo único que significa es que has excluido los factores relevantes de tu especificación del proceso de generación de rendimientos, ¿no? ¿O su interpretación como "riesgo" proviene de una suposición a priori de que el proceso de generación de rendimientos se ha especificado correctamente?

Answer 1

Creo que hay que mirar el problema desde dos ángulos diferentes para obtener una respuesta a esto.

En primer lugar, puedes mirar (como has dicho que has hecho) mirar $\hat{\epsilon}$ en términos de perturbación como has dicho, es decir, los rendimientos $R_{it}$ dependen linealmente del $R_{mt}$ - el mercado o los rendimientos de los factores. Entonces puedes imaginar que hay alguna regresión involucrada y la teoría de la regresión lineal asume el modelo como lo planteaste arriba donde $\hat{\epsilon}$ es una perturbación con una distribución normal con media $0$ . Así que para encontrar sus verdaderos parámetros $\hat{\alpha}$ y $\hat{\beta}$ se puede echar un vistazo a la perturbado datos y ajustar una línea a través de ella para que el vector de los restantes perturbaciones (residuos) se minimiza con respecto a su suma de cuadrados ( $\ell^2$ -norma). Por lo tanto, cuanto más se devuelve $R_i$ se asemejan a los rendimientos del mercado $R_m$ cuanto más pequeñas sean las perturbaciones según su modelo.

En segundo lugar, se puede considerar el problema desde un punto de vista más práctico. Decimos que los rendimientos de los activos $R_{it}$ son algunos rendimientos de los activos de un mercado. Tomemos una acción que forme parte de un índice bursátil, siendo los rendimientos del índice bursátil $R_{mt}$ . Ahora uno quiere saber qué parte de la varianza corresponde al riesgo de mercado y qué parte de la varianza corresponde a las propiedades individuales de las acciones (riesgo idiosincrático causado por la calidad de los beneficios, los ratios de endeudamiento o lo que se le ocurra, pero no los demás factores ;-) ). Como a menudo se supone que el riesgo de mercado y el riesgo idiosincrático no están correlacionados, se puede descomponer la varianza de las acciones: $$ \sigma_{i}^2 = \sigma_{m}^2 + \sigma_{id}^2 $$ donde $\sigma_{id}^2=\hat{\epsilon}^\prime\hat{\epsilon}$ . Cuanto más se $R_i$ se asemejan a su mercado ( $R_m$ ), menor será el riesgo idiosincrático. Se habla del riesgo idiosincrático como diversificado lejos cuando esto sucede.