Demostración de un resultado de estática comparativa en un problema de maximización

Question

Estoy pensando en la siguiente pregunta.

Dejemos que $f(x,\theta)$ sea una función de valor real estrictamente cóncava en $x$ y $c(x)$ sea una función de valor real estrictamente convexa en $x$ , ambos $x$ y $\theta$ pertenecen a un intervalo cerrado de $\mathbb R$ . Además, $f$ y $c$ son doblemente diferenciables y $\frac{\partial f}{\partial x\partial \theta}>0$

Dejemos que $$x^{*}(\theta)=argmax_{x}\,\,f(x,\theta)-c(x)$$

Si $x^{*}(\theta)$ es una solución interior, hace $x^{*}$ aumento de $\theta$ ?

Mi respuesta es sí, y así es como lo demuestro.

Por FOC, sabemos que en el óptimo, debemos tener $$\frac{\partial f(x^{*}(\theta),\theta)}{\partial x}-\frac{\partial c(x^{*}(\theta))}{\partial x}=0\tag{1}$$

Ahora bien, si $\theta$ aumenta a $\theta'$ ya que $\frac{\partial f}{\partial x\partial \theta}>0$ Sabemos que $$\frac{\partial f(x^{*}(\theta),\theta')}{\partial x}>\frac{\partial f(x^{*}(\theta),\theta)}{\partial x}$$

Por lo tanto, sabemos $$\frac{\partial f(x^{*}(\theta),\theta')}{\partial x}-\frac{\partial c(x^{*}(\theta))}{\partial x}>0\tag{2}$$ Desde $x^{*}(\theta')$ es el nuevo maximizador, sabemos que FOC todavía se mantiene en $x^{*}(\theta')$ es decir $$\frac{\partial f(x^{*}(\theta'),\theta')}{\partial x}-\frac{\partial c(x^{*}(\theta'))}{\partial x}=0\tag{3}$$

Compara la ecuación $(2)$ y $(3)$ y combinado con los hechos que $f$ es estrictamente cóncavo y $c$ es estrictamente convexo en $x$ Sabemos que $x^{*}(\theta')>x^{*}(\theta)$ . Por lo tanto, sabemos que $x^{*}$ aumenta estrictamente en $\theta$ .

¿Es correcta mi prueba? ¿Y hay algún teorema para estos problemas?

Gracias de antemano.

Answer 1

La forma de derivar este tipo de estática comparativa en los libros de texto es utilizar el teorema de la función implícita.

La condición de primer orden da: $$ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x^\ast(\theta), \theta) - \dfrac{\partial c}{\partial x}(x^\ast(\theta)) = 0. $$ Diferenciando con respecto a $\theta$ da: $$ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x^\ast(\theta), \theta) \dfrac{d x^\ast(\theta)}{d \theta} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial x}(x^\ast(\theta), \theta) - \dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2}(x^\ast(\theta),\theta) \dfrac{d x^\ast(\theta)}{d \theta} = 0 $$ Así que: $$ \dfrac{d x^\ast(\theta)}{d \theta} = \dfrac{-\dfrac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial x}(x^\ast(\theta), \theta)}{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x^\ast(\theta), \theta)- \dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2}(x^\ast(\theta))} $$ Si la función objetivo es estrictamente cóncava, el denominador será negativo, por lo que $\dfrac{d x^\ast(\theta)}{d \theta}$ será positivo si: $$ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial x}(x^\ast(\theta), \theta) > 0. $$