Oligopolio de Cournot - condición de primer orden

Question

Estoy leyendo un artículo que tiene esta descripción de la condición de primer orden para un juego Cournot de n empresas:

Toma $P(Q) = Q^{-1}$ , $\pi_i(q_i, Q) = (Q^{-1} - c_i)q_i$ .

Entonces, la condición de primer orden para una elección interior maximizadora de beneficios de $q_i$ requiere que

$$ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} = Q^{-1} - c_i - q_iQ^{-2} = 0.$$

Estoy tratando de entender por qué está bien simplemente tomar $\frac{\partial \pi_i}{\partial Q}$ ignorando el hecho de que $Q$ es en realidad una función de $q_i$ . Si amplío el término para que $Q = q_i + q_{-i}$ y tomar las derivadas parciales $\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial q_{-i}}$ La solución no es la misma que la que está escrita en el artículo. Agradecería cualquier explicación.

Answer 1

Nota : $Q = \sum_{i=1}^n q_i$ .

Así, el problema de optimización de la empresa $i$ es: \begin{align} max_{x_i\in\mathbb{R}_+}\pi_i(q_i,Q) \end{align} donde $\pi_i(q_i,Q) = \big(Q^{-1}(q_i;q_{-i}) -c_i\big)q_i$ . Suponiendo una solución interior, la condición de primer orden es \begin{align} \frac{\partial\pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q}\frac{\partial Q}{\partial q_i} &= 0\\ \implies (Q^{-1} - c_i) + (-1)Q^{-2}q^*_i* 1 &= 0\\ \implies q^*_i &= Q(1-Qc_i) \end{align}

Answer 2

La versión gist/acortada y generalizada de la respuesta anterior:

En el contexto en el que $Q = \sum_i q_i$ la ecuación $$ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} = \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial Q}{\partial q_i}\frac{\partial \pi_i}{\partial Q} $$ se mantiene como $$ \frac{\partial Q}{\partial q_i} = 1. $$