Equilibrio de Nash de un juego de Bertrand con diferentes costes marginales

Question

Consideremos el siguiente juego de Bertrand (competencia de precios):

• Hay dos jugadores, $1$ y $2$ . Cada uno tiene un coste marginal conocido públicamente, $c_i$ .
• Una estrategia es un precio, $p_i\in\mathbb{R}$ .
• Jugador $i$ El pago (beneficio) de la empresa es $\pi(p_i,p_j)=p_i-c_i$ si $p_i<p_j$ , $\pi(p_i,p_j)=\frac{p_i-c}{2}$ si $p_i=p_j$ y $\pi(p_i,p_j)=0$ si $p_i>p_j$ .

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Si $c_i=c_j=c$ el resultado es el sencillo equilibrio de Bertrand Nash: ambas empresas fijan $p_i=c$ y obtener un beneficio nulo. Un precio más alto da lugar a una demanda/beneficio nulo; un precio más bajo da lugar a beneficios negativos. Por tanto, no hay desviación rentable.

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Supongamos ahora que $c_1<c_2$ . ¿Qué es el equilibrio de Nash?

Anteriormente me he conformado con la intuición de que el equilibrio es que la empresa 1 se lleve todo el mercado a un precio "ligeramente inferior" a $c_2$ ? Pero al ver los detalles técnicos me surgen dudas:

1. No podemos tener un equilibrio con $p_1=c_2$ . La mejor respuesta para $2$ sería $p_2=c_2$ pero luego $1$ El beneficio de la empresa es $(p_1-c_2)/2$ y $1 $ puede desviarse provechosamente a $p_1=c_2-\epsilon$ para algunos pequeños $\epsilon$ .
2. Parece que no podemos tener un equilibrio con $p_1=c_2-\epsilon< c_2\leq p_2$ porque la empresa 1 podría hacerlo mejor con $p_1=c_2-(\epsilon/2)$ .

¿Concluimos que el único equilibrio de este juego es en estrategias mixtas?

Answer 1

Sí, no hay equilibrio en las estrategias puras. Para cualquier precio cobrado por la empresa 2 por encima de $c_1$ La empresa uno sólo podría responder mejor cobrando el mayor precio que sea estrictamente menor, lo cual es imposible. Si ambas empresas cobran como máximo $c_1$ Una de estas empresas debe tener pérdidas, lo que no puede ser la mejor respuesta. Por tanto, no existe un equilibrio de Nash en las estrategias puras.

Sin embargo, existen equilibrios en las estrategias mixtas. Consideremos un equilibrio en el que la empresa 1 elige un precio de $c_2$ mientras que la firma dos se aleatoriza uniformemente sobre el intervalo $[c_2,c_2+\epsilon]$ para algunos $\epsilon>0$ . Para $\epsilon<c_2-c_1$ En este caso, se trata de un equilibrio de Nash y, además, no utiliza ninguna estrategia débilmente dominada. La empresa 1 obtiene un beneficio de $c_2-c_1$ y la empresa 2 un beneficio de $0$ . Está claro que la empresa 2 no tiene ninguna desviación rentable. Para ver que la empresa $1$ no tiene desviación rentable, recordemos que no puede haber desviación rentable en las estrategias mixtas si no hay desviación rentable en las estrategias puras (un hecho muy general de la teoría de los juegos), y observemos que la empresa $1$ no puede beneficiarse de la desviación a un precio estrictamente inferior $c_2$ o débilmente por encima de $c_2+\epsilon$ . Así que toma cualquier $\delta$ Satisfaciendo a $0<\delta<\epsilon$ y supongamos que la empresa 1 cobra $c_2+\delta$ (nota que $\delta=0$ no habría ninguna desviación). La probabilidad de que la empresa 2 cobre un precio inferior es $\delta/\epsilon$ por lo que el beneficio esperado de la empresa 1 es $$(1-\delta/\epsilon)(c_2-c_1+\delta)+\delta/\epsilon~ 0.$$ Escriba $K$ para $c_2-c_1$ . Tenemos una desviación rentable si $$(1-\delta/\epsilon)(K+\delta)>K,$$ que podemos reordenar para obtener $$\delta(1-K/\epsilon-\delta/\epsilon)>0,$$ lo que equivale a $$K/\epsilon+\delta/\epsilon<1.$$ Si $\epsilon< c_2-c_1=K$ Esto no puede ser nunca el caso, por lo que obtenemos un equilibrio de Nash si $\epsilon>c_2-c_1$ .

En realidad, se puede utilizar la misma construcción para construir equilibrios en los que la empresa 1 cobra menos que $c_2$ pero en el equilibrio resultante, la empresa 2 debe jugar una estrategia débilmente dominada.

La construcción de esta respuesta está tomada del siguiente documento corto:

Blume, Andreas. "Bertrand sin caramelo". Cartas de Economía 78.2 (2003): 167-168.

Answer 2

Tengo la impresión de que esto se ha formalizado bajo el $\varepsilon$ - equilibrio concepto ("epsilon-equilibrio"). Incluso se denomina equilibrio "aproximado-Nash".

Copiando descaradamente del correspondiente artículo de wikipedia (que incluye algunas referencias bibliográficas)

\=== La definición estándar ===

Dado un juego y un parámetro real no negativo $\varepsilon$ , a perfil de estrategia se dice que es un $\varepsilon$ -equilibrio si no es posible no es posible que ningún jugador gane más que $\varepsilon$ en la retribución equilibrio dominante|pago esperado al desviarse unilateralmente de su estrategia. Todo Equilibrio de Nash es equivalente a un $\varepsilon$ -equilibrio donde $\varepsilon = 0$ .

Formalmente, dejemos que $G = (N, A=A_1 \times \dotsb \times A_N, u\colon A \to > R^N)$ ser un $N$ -juego de jugadores con juegos de acción $A_i<$ para cada jugador i y la función de utilidad $u$ . Sea $u_i (s)$ denota la la recompensa del jugador $i$ cuando se juega la estrategia s. Sea $\Delta_i$ sea el espacio de distribuciones de probabilidad sobre $A_i$ . A vector de estrategias $\sigma \in \Delta = \Delta_1 \times \dotsb > \times \Delta_N$ es un $\varepsilon$ -Equilibrio de Nash para $G$ si :

$$u_i(\sigma)\geq u_i(\sigma_i^{'},\sigma_{-i})-\varepsilon\;\;\; \forall \sigma_i^{'} \in \Delta_i,\;\; i \in N$$

Esto está vinculado a un entorno probabilístico, pero parece que puede utilizarse de forma más general.

El artículo menciona incluso que

"En economía, el concepto de equilibrio épsilon de estrategia pura se utiliza cuando el enfoque de estrategia mixta se considera poco realista. En un equilibrio épsilon de estrategia pura, cada jugador elige una estrategia pura que está dentro de epsilon de su mejor estrategia pura. "

Para no engañarnos, esto no es más que una formalización que intenta esconder bajo la alfombra el hecho de que las "desviaciones infinitesimales" pueden molestar a los matemáticos, pero no a los economistas, que saben que esas desviaciones infinitesimales no juegan ningún papel en la determinación de las situaciones económicas del mundo real.

Answer 3

Creo que la norma en la competencia de Bertrand con diferentes costes marginales constantes es otro supuesto en caso de igualdad de precios. En lugar de repartir la demanda por igual, se podría suponer que en caso de igualdad de precios las empresas más eficientes suministran toda la demanda. Como resultado, todos los pares de precios $p_1=p_2=p$ con $p \in [c_1,c_2]$ constituyen un equilibrio. Todos los precios $p \in [c_1,c_2)$ son un poco extrañas porque la empresa 2 tiene precios por debajo del coste marginal. Sin embargo, eso no importa, porque -por supuesto- la empresa 1 atiende a toda la demanda. Como alternativa, se puede discretizar el espacio de precios (por ejemplo, los precios son un múltiplo de, digamos, $\varepsilon =1$ cent). Entonces se puede construir un equilibrio similar en el que sólo la empresa 1 comercia. Es decir, los precios $p_1 =p$ y $p_2=p+\varepsilon$ para cualquier $p \in [c_1,c_2]$ constituyen un equilibrio.

Answer 4

Una pregunta interesante. Tendrá que suponer que la segunda empresa es indiferente entre no producir y obtener 0 beneficios. En realidad, tal y como lo has planteado, la empresa obtiene 0 beneficios de todos modos. Si el caso es que $c_{1}<c_{2}$ entonces el caso 1) que has mencionado es el Equilibrio de Nash. Esto es similar a una subasta de oferta sellada de segundo precio con valoración conocida: el jugador con la valoración más alta ofrece la valoración del segundo jugador, de modo que éste es indiferente entre ofrecer 0 y su propia valoración.

Permítame señalar que si usted no hacer el supuesto de indiferencia, entonces muchos juegos pueden no tener un equilibrio de Nash dadas las siempre posibles desviaciones épsilon.