Condiciones de Inada para la forma intensiva de la función de producción

Question

Quiero demostrar que las condiciones de Inada $\underset{K\rightarrow0}{\lim} \frac{\partial F}{\partial K}=\underset{L\rightarrow0}{\lim} \frac{\partial F}{\partial L}=\infty$ y $\underset{K\rightarrow\infty}{\lim} \frac{\partial F}{\partial K}=\underset{L\rightarrow\infty}{\lim} \frac{\partial F}{\partial L}=0$ implica que $\underset{k\rightarrow0}{\lim} f'(k)=\infty$ y $\underset{k\rightarrow\infty}{\lim} f'(k)=0$ .

En este caso, la función de producción viene dada por $F(K,AL)=ALf(k)$ . Suponemos que $f'(k)>0$ y $f''(k)<0$ .

Comienzo con la observación de que si $\underset{k\rightarrow0}{\lim} f'(k)=\infty$ entonces $\underset{K\rightarrow0}{\lim} f'(k)=\infty$ y $\underset{L\rightarrow\infty}{\lim} f'(k)=\infty$ . La primera condición se cumple con la primera condición de Inada. También puedo deducir que $f'(k)=\frac{1}{K}F(K,AL)-\frac{L}{K} \frac{\partial F}{\partial L}$ . ¿Cómo puedo demostrar que la segunda condición también es cierta?

Answer 1

Consideremos la función de producción CRS $$F(K,L) = L f\left(\frac{K}{L}\right) \tag{1}$$ Escribamos $F_1 \equiv \frac{\partial F}{\partial K}$ y $F_2 = \frac{\partial F}{\partial L}$ . Supongamos que: $$\begin{align*} &\lim_{K \to 0} F_1(K,L) = \infty,\tag{a}\\ &\lim_{K \to \infty} F_1(K,L) = 0, \tag{b}\\ &\lim_{L \to 0} F_2(K,L) = \infty, \tag{c}\\ &\lim_{L \to \infty} F_2(K,L) = 0 \tag{d} \end{align*}$$

Obsérvese que al diferenciar $(1)$ con respecto a $K$ y $L$ y definiendo $k = \frac{K}{L}$ obtenemos: $$\begin{align*} &F_1(K,L) = L f'\left(\frac{K}{L}\right) \frac{1}{L} = f'(k), \tag{A}\\ &F_2(K,L) = f\left(\frac{K}{L}\right) + L f'\left(\frac{K}{L}\right) \left(-\frac{K}{L^2}\right) = f(k) - k f'(k) \tag{B} \end{align*}$$

1. Ahora, consideremos una secuencia arbitraria $(k_n)_{n \in \mathbb{N}}$ . Definir secuencias $(K_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y $(L_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $K_n = k_n$ y $L_n = 1$ . Obsérvese que por definición $\frac{K_n}{L_n} = k_n$ . Entonces, si $k_n \to 0$ tenemos por $(A)$ y $(a)$ : $$\lim_{n \to \infty} f'(k_n) = \lim_{n \to \infty} F_1(K_n, 1) = \lim_{K \to 0} F_1(K,1) = \infty.$$ Como $k_n \to 0$ era arbitraria, tenemos $$\lim_{k \to 0} f'(k) = \infty.$$ Del mismo modo, si $k_n \to \infty$ tenemos por $(A)$ y $(b)$ : $$\lim_{n \to \infty} f'(k_n) = \lim_{n \to \infty} F_1(K_n, 1) = \lim_{K \to \infty} F_1(K,1) = 0.$$ Esto hace que $$\lim_{k \to \infty} f'(k) = 0.$$

2. Hasta ahora, no hemos utilizado $(B)$ ni $(c)$ y $(d)$ . Esto implica otra serie de condiciones limitantes en $f'(.)$ . En efecto, definamos las secuencias $(K_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y $(L_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $K_n = 1$ y $L_n = \dfrac{1}{k_n}$ . De nuevo tenemos que $\frac{K_n}{L_n} = k_n$ . Entonces para $k_n \to 0$ que tenemos usando $(B)$ y $(d)$ : $$\lim_{n \to \infty} (f(k_n) - k_n f'(k_n)) = \lim_{n \to \infty} F_2(1,L_n) = \lim_{L_n \to \infty} F_2(1,L_n) = 0$$ Esto da que: $$\lim_{k \to 0} f(k_n) = \lim_{k \to 0} k f'(k).$$ Obsérvese que si $f$ es continua en $0$ entonces esto implica que: $$f(0) = \lim_{k \to 0} k f'(k).$$ A continuación, tomando una secuencia $k_n \to \infty$ tenemos que usar $(B)$ y $(c)$ eso: $$\lim_{n \to \infty} (f(k_n) - k_n f'(k_n)) = \lim_{n \to \infty} F_2(1, L_n) = \lim_{L \to 0} F_2(1,L) = \infty$$ Como tal, $$\lim_{k \to \infty} (f(k) - k f'(k)) = \infty)$$