Derivación de la ley del movimiento por el lema de Ito

Question

He estado tratando de derivar la ley de movimiento para el proceso estocástico de arriba usando el Lemma de Ito, dado el Movimiento Browniano Geométrico con su ley de movimiento mostrada abajo:

He conseguido tomar las derivadas parciales de tal manera que puedo sustituirlas en la forma del Lemma de Ito como se muestra a continuación:

A partir de esto soy capaz de simplificar hasta:

Lo anterior es posible porque:

Sin embargo, me cuesta simplificar más hacia una respuesta para derivar la ley del movimiento. Me pregunto si he calculado mal las derivadas parciales o tal vez un error en mi simplificación hasta ahora, pero parece que no puedo eliminar las St que parecen necesarias. ¿Podría quizás tomar la diferencial total de dUt/Ut de la versión más simplificada hasta ahora? Gracias por cualquier ayuda de antemano.

Answer 1

Dado que el proceso $e^{-\mu t}$ es continuamente diferenciable, entonces tiene variación finita. Así, el lema de Ito implica esencialmente la regla del producto "normal":

\begin{align} dU_t &= d(S_te^{-\mu t}) \\ &= e^{-\mu t}dS_t + S_td(e^{-\mu t}) \\ &= e^{-\mu t}\mu S_t dt + e^{-\mu t}\sigma S_t dw_t - \mu e^{-\mu t} S_t dt \\ &= e^{-\mu t}\sigma S_t dw_t \end{align}