Calcule el precio de un derivado que paga $\log(S_T)S_T$ en el mundo de Black Scholes

Question

Calcular el precio de un derivado que tiene paga $\log(S_T)S_T$ se puede asumir que el modelo de Black Scholes es válido.

Utilizando la medida de stock podemos escribir la expectativa como

$$D(0) = S_0 \mathbb{E}_S(\log S_T)$$

con la expectativa en la medida de las acciones. En esta medida,

$$dS_t = (r + \sigma^2)S_t dt + \sigma S_t dW_t$$

¿Cómo se ha derivado esto?

y se deduce del lema de Ito que

$$d \log S_t = (r+0.5\sigma^2)dt + \sigma dW_t$$

¿Por qué utilizamos aquí el lema de Ito?

Answer 1

Parte 1 La derivación de la deriva del proceso del precio de las acciones bajo el Numeraire de las acciones.

Con la medida de neutralidad del riesgo, el proceso de $S_t$ es la siguiente:

$$ S_t = S_0 + \int_{h=t_0}^{h=t}rS_h dh + \int_{h=t_0}^{h=t}\sigma S_h dW_h = \\ = S_0exp\left[ (r-0.5 \sigma^2)t+\sigma W(t) \right] $$

En el modelo anterior, el Numerario es $N(t)=e^{rt}$ con $N(t_0):=1$ . Específicamente, $W(t)$ es un movimiento browniano estándar bajo la medida de riesgo neutro asociada al Numerario $N(t)$ .

El cambio de fórmula de Numeraire es (quiero cambiar de $N(t)$ a algunos $N_1(t)$ ):

$$ \frac{dN_1(t)}{dN(t)}= \frac{N(t_0)N_1(t)}{N(t)N_1(t_0)} $$

Utilizando la acción como numeraire da:

$$ \frac{dN_{S}}{dN}(t) = \frac{1*S_t}{e^{rt}S_0}=\frac{S_0exp\left[ (r-0.5 \sigma^2)t+\sigma W(t) \right]}{e^{rt}S_0}=e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t} $$

La derivada del radón-nikodym anterior es directamente aplicable a $W(t)$ utilizando el Teorema de Cameron-Martin-Girsanov.

Entrando en el detalle de cómo funciona realmente la medida de probabilidad cambiante, consideremos la distribución de probabilidad de $W(t)$ bajo la medida de riesgo neutro:

$$\mathbb{P}^Q(W_t \leq k)=\int_{h=-\infty}^{h=k}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-h^2}{2t}}dh$$

Podemos definir alguna nueva medida de probabilidad $\mathbb{P}^2$ utilizando la derivada de Radon-Nikodym $y(W_t,t):=e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}$ de la siguiente manera:

$$\mathbb{P}^2(W_t\leq k):=\mathbb{E}^Q[y(W_t,t)I_{W(t) \leq k}]$$

La evaluación de la expectativa da:

$$ \mathbb{E}^Q[y(W_t,t)I_{W(t) \leq k}] = \int_{h=-\infty}^{h=k}y(W_t,t) f_{W_t}(h)dh = \\ = \int_{h=-\infty}^{h=k}e^{-0.5\sigma^2t+\sigma h} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-h^2}{2t}}dh= \\ =\int_{h=-\infty}^{h=k}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(h^2-\sigma t)}{2t}}dh$$

Por lo tanto podemos ver que aplicando la derivada de Radon-Nikdym se añade la deriva $\sigma t$ a $W_t$ bajo la medida de la probabilidad $\mathbb{P}^2$ (podemos ver que a través de la distribución de probabilidad de $W_t$ en $\mathbb{P}^2$ ).

Así que en nuestro caso, $\mathbb{P}^2$ es la medida de probabilidad definida mediante el uso de $S_t$ como numerario, podemos llamarlo $\mathbb{P}^{S_t}$ . El último paso es averiguar el proceso de $S_t$ en $\mathbb{P}^{S_t}$ :

Vamos a utilizar el siguiente "truco" algebraico: Voy a definir un nuevo proceso bajo la medida original de riesgo neutro $Q$ , llamado $\tilde{W_t}$ de la siguiente manera: $\tilde{W_t}:=W_t-\sigma t$ .

Por lo tanto, según la medida original $Q$ El proceso $\tilde{W_t}$ tiene una deriva "negativa" igual a $-\sigma t$ .

Insertemos ahora $\tilde{W_t}$ en la ecuación original del proceso para $S_t$ utilizando $W_t = \tilde{W_t} + \sigma t$ :

$$S_t=S_0exp\left[ (r-0.5 \sigma^2)t+\sigma W(t) \right]= \\ = S_0exp\left[ (r-0.5 \sigma^2)t+\sigma (\tilde{W(t)}+\sigma t) \right] = \\ = S_0exp\left[ (r-0.5 \sigma^2)t+\sigma^2 t + \tilde{W(t)} \right] = \\ = S_0exp\left[ (r+0.5 \sigma^2)t+ \tilde{W(t)} \right]$$

Sabemos que aplicando la derivada de radón-nikodym de antes (es decir $e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}$ ) añade la deriva $\sigma t$ y definimos $\tilde{W_t}$ para tener la deriva $-\sigma t$ . Por lo tanto, aplicando el radón-nikodimio a $\tilde{W_t}$ eliminará la deriva de $\tilde{W_t}$ y el proceso $\tilde{W_t}$ se convertirá en un movimiento browniano estándar sin rumbo bajo $\mathbb{P}^{S_t}$ .

Así que tenemos el proceso para $S_t$ en $\mathbb{P}^{S_t}$ como:

$$S_0exp\left[ (r+0.5 \sigma^2)t+ \tilde{W(t)} \right]$$

En este sitio $\tilde{W(t)}$ es un movimiento browniano estándar sin deriva.

Parte 2 : El lema de Ito para derivar el proceso de $log(S_t)$ .

Supongo que sabes cómo aplicar el lema de Ito para resolver el modelo estándar de GBM para un precio de las acciones, es decir, nuestra ecuación de partida anterior. Entonces, por inspección, uno puede ver que aplicando el lema de Ito a $ln(S_t)$ en la medida $\mathbb{P}^{S_t}$ producirá el mismo resultado, pero con una deriva diferente. En efecto, bajo $\mathbb{P}^{S_t}$ :

$$S_t=S_0exp\left[ (r+0.5 \sigma^2)t+\sigma \tilde{W(t)} \right]$$

Por lo tanto:

$$ ln \left( \frac{S_t}{S_0} \right)= (r+0.5 \sigma^2)t+\sigma \tilde{W(t)} $$

Es decir, la medida de la probabilidad no afecta a la forma en que se puede aplicar el lema de Ito.

Answer 2

Después de esto responder , dejemos que $\mathbb Q$ sea la medida de probabilidad asociada a la cuenta bancaria sin riesgo como numerario y $\mathbb Q^1$ la medida de probabilidad asociada a la acción como numerario.

Sabes que la ecuación estándar $\mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^\mathbb{Q}$ puede escribirse como $\mathrm{d}S_t=(r+\sigma^2)S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^1}$ bajo la medida de stock aplicando el teorema de Girsanov (este es el ejemplo 1 de la sección 3 de este responder ). Simplemente utilizamos $\mathrm{d}W_t^\mathbb{Q}=(\sigma\mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^1})$ .

Del mismo modo, aplicando el Lemma de Ito a $f(t,x)=\ln(x)$ tenemos $\mathrm{d}\ln(S_t)=\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}}$ que se traduce en $\mathrm{d}\ln(S_t)=\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^1}$ con la nueva medida. Esta última ecuación equivale a $$ \ln(S_t)= \ln(S_0)+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t^{\mathbb{Q}^1}.$$ Porque $W_t^{\mathbb{Q}^1}$ es un movimiento browniano estándar bajo la medida del stock $\mathbb{Q}^1$ (por construcción) y por lo tanto tiene una expectativa nula, tenemos $$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}[\ln(S_t)]=\ln(S_0)+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)t.$$

Pasando a la reclamación de pago $S_T\ln(S_T)$ podemos derivar su precio de la siguiente manera \begin{align*} e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_T\ln(S_T)] &= e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}\left[S_T\ln(S_T)\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{Q}^1}\right] \\ &= S_0 \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}\left[\ln(S_T)\right] \\ &= S_0 \left(\ln(S_0)+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)T\right). \end{align*} Aquí, he utilizado $\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{Q}^1}=\frac{S_0e^{rT}}{S_T}$ .

Por supuesto, este valor puede ser negativo (al igual que el pago de esta reclamación puede ser negativo).