Diferenciación implícita multivariante (Samuelson, 1948)

Question

Estoy estudiando "The Simple Mathematics of Income Determination", de Paul Samuelson (el libro se llama "Macroeconomia (artigos selecionados)", de APEC-CAEN. Es el capítulo 1 del libro, la página 13), y estoy teniendo algunos problemas para entender un pasaje de cálculo.

En primer lugar, Samuelson plantea la ecuación de la renta:

$(1)$ $ Y = C (Y - \bar{W}) + \bar{I} + \bar{G} $

Dónde $Y$ corresponde a los ingresos, $C$ corresponde al consumo, $\bar{W}$ corresponde a los impuestos (en realidad, no sé exactamente la extraña razón por la que se eligió la letra W como impuestos en lugar de una letra más común como la T), $\bar{I}$ corresponde a la inversión y $\bar{G}$ corresponde al gasto público). Para simplificar, estas tres últimas variables se tratan como constantes.

Entonces, $Y$ se diferencia en $\bar{G}$ (que supongo que es una diferenciación implícita, en forma de $\frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y}$ ):

$(2)$ $\frac{dY}{d\bar{G}} = \frac{1}{1 - C'(Y - \bar{W})}$

Pero mi duda surge en el siguiente pasaje:

$(3)$ $\frac{dY}{d\bar{(-W)}} = \frac{C'(Y - \bar{W})}{1 - C'(Y - \bar{W})} = \frac{dY}{d\bar{G}} - 1 $

Me doy cuenta de que Samuelson hizo la misma diferenciación implícita que en el paso 2 y puedo visualizar que

$\frac{C'(Y - \bar{W})}{1 - C'(Y - \bar{W})} = \frac{1}{1 - C'(Y - \bar{W})} * C'(Y - \bar{W}) = \frac{dY}{d\bar{G}} * C'(Y - \bar{W})$

pero, ¿cómo $\frac{dY}{d\bar{G}} * C'(Y - \bar{W})$ se dirige a $\frac{dY}{d\bar{G}} - 1 $ ? Quiero decir, ¿cómo es que esto $-1$ sustituir el término multiplicador $C'(Y - \bar{W})$

Intenté conseguirlo, pero sin éxito. Espero que pueda arrojar algo de luz al respecto.

Answer 1

Partimos de la ecuación: $$ Y = C(Y - \overline{W}) + \overline{I} + \overline{G} $$ En primer lugar, diferenciamos totalmente con respecto a $(-\overline{W})$ (teniendo en cuenta que $Y$ es una función de $\overline{W}$ , $\overline{I}$ y $\overline{G}$ ) $$ dY = C'(Y - \overline{W})dY + C'(Y - \overline{W}) d(-\overline{W}). $$ Llevar la $dY$ términos en un lado da: $$ (1 - C'(Y - \overline{W}))dY = C'(Y - \overline{W}) d(-\overline{W}),\\ \to \frac{dY}{d(-\overline{W})} = \frac{C'(Y - \overline{W})}{1 - C'(Y - \overline{W})} $$ A continuación, diferenciamos totalmente con respecto a $\overline{G}$ : $$ dY = C'(Y - \overline{W})dY + d \overline{G} $$ Nuevamente reunir los términos da: $$ (1 - C'(Y - \overline{W})) dY = d \overline{G}\\ \to \frac{dY}{d \overline{G}} = \frac{1}{1 - C'(Y - \overline{W})} $$ Por lo tanto: $$ \begin{align*} \frac{dY}{d \overline{G}} - 1 &= \frac{1}{1 - C'(Y - \overline{W})} - 1,\\ &=\frac{1 - 1 +C'(Y - \overline{W})}{1 - C'(Y - \overline{W})},\\ & = \frac{C'(Y - \overline{W})}{1 - C'(Y - \overline{W})},\\ &= \frac{dY}{d(- \overline{W})} \end{align*} $$