Estoy mirando una opción de venta perpetua donde el precio de ejercicio es inicialmente el precio de la acción $K(0)=S(0)$ (es decir, en el dinero), pero el precio de ejercicio crece a la tasa constante libre de riesgo $r$ [es decir $K(t)=S(0)\exp(rt)$ ]. El precio de las acciones S(t) sigue el GBM sin dividendos, por lo que $dS(t)/S(t)=rdt+\sigma dW(t)$ .
Si utilizo la cuenta del mercado monetario como numerario para que $Z(t)=S(t)/B(t)$ donde $B(t)=\exp(rt)$ ¿No es esto entonces el precio de una puesta a perpetuidad $Z(t)$ con precio de ejercicio constante $K=(0)=Z(0)=S(0)$ y $dZ(t)=\sigma dW(t)$ ? Si es así, pensé que debería ser capaz de fijar el precio de esto con la fórmula de la venta perpetua de Merton (por ejemplo, https://www.ma.utexas.edu/users/mcudina/Lecture14_1and2.pdf ) estableciendo $r=q$ (es decir, deriva cero).
Pero el precio Black-Scholes de una opción de venta europea con strike $S(0)*\exp(rT)$ y la madurez $T$ es $S(0)*[N(\sigma \sqrt{T}/2)-N(-\sigma \sqrt{T}/2)]$ que se acerca a $S(0)$ cuando $T \to \infty$ . Entonces, ¿no significa eso que después de cierta madurez $T^*$ ¿el precio Black-Scholes de una opción de venta europea será mayor que el precio de una opción de venta perpetua (mismo strike y volatilidad)?
