¿Por qué la no saciedad local implica que la restricción es vinculante?

Question

La no saciedad local dice que para cualquier $x \in X$ y $\epsilon > 0$ existe $y \in X$ tal que $d(x,y) < \epsilon$ y $U(x) < U(y)$ .

No entiendo por qué esto implica que $px^* = m$ si $x^*$ sovles el problema de los consumidores. Si pensamos en $x \in R^2$ implica que se puede encontrar un $y$ que se prefiere estrictamente en la pequeña vecindad de $x$ . En ese caso, incluso $x$ está en $px = m$ LNS parece implicar que hay una $y$ que es estrictamente preferible a $x$ y que $y$ puede no estar en el límite ya que LNS sólo dice que hay una dirección creciente pero no dice en qué dirección está aumentando.

Answer 1

La OP tiene razón al señalar que "la no saturación local (LNS) sólo dice que hay una dirección (de utilidad) creciente, pero no dice en qué dirección lo es". Es decir, contemplamos la posibilidad de tratar también con "malos", no sólo con "bienes". La figura 3.B.1 muestra exactamente esta situación.

Pero es el caso de que, cuando el conjunto de paquetes es $\mathbb R_+$ , bajo LNS no todos los artículos pueden ser malos . Porque entonces, el vector cero será un punto de saturación (y por lo tanto violaría el supuesto de LNS).

Por lo tanto, el uso de cantidades no negativas de artículos y la imposición de LNS nos obliga a considerar sólo los casos en los que al menos un artículo del paquete es un bien y no un mal, en cuyo caso "más es mejor" para este artículo.

Entonces, podemos demostrar que la no saturación local implica el agotamiento del presupuesto disponible.

Ad absurdum, supongamos que $px^* < m$ . En LNS por cada $\epsilon >0$ existe un $y(\epsilon)$ que es más preferible a $x^*$ . Si algunos $y(\epsilon)$ es factible, $py(\epsilon) \leq m$ entonces $x^*$ no puede ser la opción óptima en primer lugar.

Así que la pregunta es : ¿Es posible que todo $y(\epsilon)$ que se prefieren a $x^*$ bajo LNS, son inviables, $py(\epsilon)>m,\;\; \forall \epsilon>0$ ?

Supongo que el OP puede seguir adelante.

Answer 2

Hay dos situaciones en las que sabemos que las preferencias son localmente no saciadas. 1) Las preferencias son monótonas - En este caso sabemos que tenemos bienes "buenos" lo que significa necesariamente que más de cada bien es mejor, y por tanto el consumidor querría agotar su renta 2) Las preferencias no son monótonas - Esto permite la existencia de bienes "malos", pero eso no significa que todos los bienes sean malos porque eso significaría que no hay ningún paquete en la vecindad del origen (no se consume ningún bien porque todos son malos) que se prefiera al origen, por lo que llegamos a un punto de felicidad/saciedad, violando el supuesto de LNS. Por tanto, necesitamos al menos un bien que no sea malo. En este caso, el consumidor no gastaría nada en todos los bienes "malos" y agotaría toda su renta en ese único bien que le proporciona una utilidad positiva.