Demostrar que la restricción presupuestaria es Hemi Continuo Inferior (LHC)

Question

Necesito demostrar que la siguiente restricción es LHC.

$B=\{x \in R^n : px\leqslant pw)$

Pero no soy capaz de encontrar y secuenciar $\{x_n\}$ tal que $x_n \in B(p_n,w_n) \forall n$ y que $x_n\longrightarrow x$ .

He probado con la configuración $x_n=\frac{x}{1+\beta^n}$ , $p_n=\frac{p}{1+\beta^n}$ , $w_n=\frac{w}{1+\beta^n}$ porque en ese caso $x_n\longrightarrow x$ . y $x_n \in B(p_n,w_n) \forall n$ pero creo que no estoy cubriendo el $\forall p_n, w_n$ parte.

Ayuda por favor y gracias de antemano.

Answer 1

No creo que sea un semicontinuo inferior.

Dejemos que $w = (0,\dots,0)$ , $p \in \mathbb{R}^n_+$ sea cualquier vector tal que $p_1 = 0$ (la primera coordenada es 0).

La asignación $x=(1,0,\dots,0) \in B(p,w)$ .

Definir la secuencia $p_n = p + (\frac{1}{n},0,\dots,0)$ y $w_n = (\frac{1}{n},0,\dots,0)$ . $w_n \rightarrow w$ y $p_n \rightarrow p$ .

Para cualquier $x^n \in B(p_n,w_n)$ , $p_n x^n_1 \leq w_np_n$ Así que $x_1^n \leq \frac{1}{n}$ .

Por lo tanto, para cualquier secuencia tal que $x^n \in B(p_n,w_n)$ , $x^n \not \rightarrow x$ .

Answer 2

Un enfoque podría ser el siguiente. Para un $(p_n,w_n)$ en la secuencia y $x \in B(p,w)$ definir: $$ \alpha_n = 1 \text{ if } p_n x \le w_n$$ y $$ \alpha_n = \frac{w_n}{p_n x} \text{ if } p_n x > w_n$$ Entonces define: $$ x_n = \alpha_n x$$ Aquí $x_n$ es igual a $x$ si $x$ está en el presupuesto $B(p_n,w_n)$ . Si no, entonces $x_n$ es la proyección radial de $x$ en la línea presupuestaria.

Observe que $$p_n x_n = p_n x \le w_n \text{ if } p_n x \le w_n$$ y $$p_n x_n = p_n \frac{w_n}{p_n x} x = w_n \text{ if } p_n x > w_n$$ que muestra que $x_n \in B(p_n, w_n)$ .

Por lo tanto, lo único que queda por demostrar es que $x_n \to x$ o de forma equivalente, $\alpha_n \to 1$ .

Si $p_n \to p \gg 0$ y $w_n \to w > 0$ . Entonces para $n$ lo suficientemente grande se puede demostrar que $$ \alpha_n = \min\left\{\frac{w_n}{p_n x}, 1\right\}.$$ Como la función min es continua, se deduce que $$ \lim_n \alpha_n = \lim_n \left(\min \left\{\frac{w_n}{p_n x}, 1\right\}\right) = \min\left\{\frac{w}{p x},1\right\} = 1.$$