Derivación de la fórmula de aproximación Gamma a partir de la fórmula de aproximación Delta

Question

La fórmula de $Gamma = (Vplus + Vminus - 2V0)/(V0 * dS^2)$ , donde

• $V$ es el valor del contrato,
• $S$ es el precio de las acciones.

También sabemos que $Gamma = (Dplus-Dminus)/(Splus-Sminus)$ , donde

• $D$ es el contrato Delta,
• $Splus = S0 + dS$ ,
• $Sminus = S0 - dS$ ,
• $Dplus = (Vplus - V0)/(V0 * dS)$ ,
• $Dminus = (V0 - Vminus)/(V0 * dS)$ .

Sustituyendo $Dplus$ , $Dminus$ y sustituyendo $Splus-Sminus$ con $2dS$ nos encontramos con que:
$(Vplus + Vminus - 2V0)/(V0 * dS)/2dS = (Vplus + Vminus - 2V0)/(V0 * 2 * dS^2)$

Debo estar haciendo algo mal, porque 1/2 no está presente en la fórmula del libro.
¿Podría, por favor, ayudarme con la derivación?

Answer 1

(Bienvenido a Quant SE. Parece que no te has decidido sobre si tu choque es $dS$ o $S_0dS$ . También, $V_0$ no pertenece al denominador. Probablemente te refieres a $S_0$ . La próxima vez que nos visite, intente utilizar Latex en este sitio).

Es mejor empezar con Teorema de Taylor con resto para convencerse de la validez de estos esquemas de diferencias finitas:

$$V(S+dS)= V(S)+V'(S)dS+\boxed{\frac{1}{2}V''(S)(dS)^2}+ \frac{1}{6}V'''(S_1)(dS)^3$$

para algunos $S_1\in (S, S+dS)$ $$V(S-dS)= V(S)-V'(S)dS+\boxed{\frac{1}{2}V''(S)(dS)^2}-\frac{1}{6}V'''(S_2)(dS)^3$$ para algunos $S_2\in (S-dS, S)$

A continuación, obtenemos (nótese que las dos mitades en las casillas harán que no haya $2$ en el denominador final):

$$ \frac{V(S+dS)+V(S-dS)-2V(S)}{(dS)^2} = V''(S)+ \frac{1}{6}(V'''(S_1) + V'''(S_2))dS$$

y finalmente dejamos que $dS \rightarrow 0$ .

Sustitución de $dS$ por $SdS$ en todas partes, también tenemos:

$$ \frac{V(S+SdS)+V(S-SdS)-2V(S)}{S^2(dS)^2} \approx V''(S),$$

para los pequeños $dS$ .

Answer 2

Además, no creo que Gamma = (Dplus-Dminus)/(Splus-Sminus) sea correcto, sino que es Gamma = (Dplus-Dminus)/(dS). Debe utilizar el incremento dS en todo momento, por coherencia. Al hacer que el denominador sea un paso de 2*dS no estás diferenciando correctamente con respecto a la variable "S".