¿Por qué la utilidad debe ser limitada (o ilimitada)?

Question

Para la utilidad esperada y la SEU, la gente hace axiomas para asegurar que la utilidad está acotada. Sin embargo, personalmente creo que la función de utilidad debe ser no acotada, especialmente si estamos considerando la utilidad cardinal. Explicaré mi punto de vista en un experimento.

Aunque tenga una utilidad marginal decreciente, siempre habrá algún aumento de dinero que mejore mi utilidad en una unidad. Por ejemplo, es posible que duplicar el dinero suponga una unidad de utilidad para mí, o es posible que triplicar el dinero suponga una unidad de utilidad para mí. En cualquier caso, el rango de mi función de utilidad debe ser ilimitado. En un lenguaje más riguroso, si una función de utilidad del dinero está acotada, entonces, cuando el dinero se acerca al infinito, la función de utilidad se aproxima arbitrariamente a una función constante, lo que viola la no-saciedad.

Mi pregunta es, ¿qué economistas sostienen que la utilidad en la vida real debe ser ilimitada, y quiénes sostienen que una utilidad limitada es más normativa, racional o natural? ¿Han llegado los economistas a un consenso de que la función de utilidad debe estar limitada en la vida real? Cualquier bibliografía será de gran ayuda.

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Fuentes para la utilidad limitada: UE: Utilidad esperada limitada, PC Fishburn (1967)

Answer 1

tl;dr: La respuesta corta es que la utilidad cardinal de la persona racional es en gran parte de una literatura se deriva del marco de utilidad cardinal esperada de von Neumann y Morgenstern. En este marco, la utilidad debe estar limitada por nuestra definición de lo que es la racionalidad. Por lo tanto, en este marco la respuesta corta es simplemente que la utilidad tiene que estar limitada para que la persona sea considerada racional.

También existen marcos de utilidad esperada que permiten que la utilidad esperada sea ilimitada (véase la revisión de Fishburn, 1976) . Sin embargo, su uso no está muy extendido, ya que a menudo pueden dar lugar a paradojas y no parecen ofrecer ninguna visión especial. Supongo que esto se debe a la fuerte influencia del instrumentalismo en el pensamiento económico. Un investigador preferiría un marco de utilidad que sea capaz de proporcionar algunas predicciones comprobables en lugar de uno que sólo dé lugar a una paradoja y, por tanto, no ofrezca ninguna predicción comprobable útil. Por lo tanto, incluso si alguien pudiera considerar el concepto de utilidad ilimitada más elegante, su valor instrumental en la investigación sería casi nulo (si en el caso particular conduce a una paradoja irresoluble).

Respuesta completa:

Es necesario acotar la utilidad para evitar paradojas como la La paradoja de San Petersburgo (para una visión más matizada, véase esta entrada en Enciclopedia Stanford de filosofía ). De hecho, la utilidad de una persona racional debería estar acotada, como sugiere Arrow (1970) precisamente en referencia a la paradoja anterior.

La utilidad cardinal real más general estará limitada por los axiomas que se utilizaron para derivar la utilidad cardinal esperada en primer lugar. Siguiendo la teoría de los juegos y el comportamiento económico de Neumann y Morgenstern (1947), la utilidad esperada de una apuesta puede describirse mediante la denominada ecuación de von Neuman-Morgenstern:

$$E[u(g_i)] = \sum_j u(X_{ij})p_{ij}$$

donde $u$ es la utilidad $g_i$ es apostar $X$ es un resultado y $p$ es una probabilidad. Además, para que lo anterior sea una utilidad debemos tener algún continuo de apuestas para el cual:

$$g_i,g_j \in \mathbf{G}: g_j \succeq g_i \implies E[u(g_j)]\geq E[u(g_i)] $$

Ahora bien, teniendo en cuenta esto podemos preguntarnos (como hizo el autor del artículo) ¿cuáles serían las propiedades de dicha función de utilidad?

Ahora resulta que la restricción de racionalidad básica en la que las preferencias satisfacen la transitividad, la completitud, la continuidad y la independencia implica que la utilidad tiene que estar acotada.

El axioma de completitud establece:

$$ \forall x,y \in \mathbf{X}: x \succeq y \vee y\succeq x \vee y \thicksim x $$

es decir que podemos ordenar todas nuestras opciones en términos de preferencia de alguna manera.

El axioma de transitividad establece:

$$ \forall x,y,z \in \mathbf{X}, \text{ if } x \succeq y \wedge y \succeq z \implies x \succeq z$$

Así que si a alguien le gusta $x$ más de $y$ y $y$ más de $z$ entonces $x$ debe ser preferible a $z$

La continuidad $z \succeq y \succeq x$ , entonces debe haber alguna probabilidad $p$ tal:

$${px,(1-p)z} \thicksim y $$

Esto implica que ningún resultado $x$ es tan terrible como para no aceptar una apuesta que implique $x$ .

por el axioma de independencia si $y \succeq x$ entonces para $z$ y alguna probabilidad $p$

$${px,(1-p)z} \preceq {py,(1-p)z} $$

Este axioma establece que si dos resultados tienen la misma probabilidad, debemos evaluar las dos alternativas independientemente de lo que pensemos que es el resultado.

Los axiomas anteriores son la forma de definir la racionalidad en la utilidad cardinal esperada. Por supuesto, hay diferentes especificaciones posibles de las funciones de utilidad, pero la mayoría de las investigaciones modernas se basan en el tipo von Neuman-Morgenstern (o funciones de utilidad relacionadas).

Ahora bien, estos requisitos de racionalidad -que son axiomas por lo que son por definición lo que es la racionalidad en este contexto, simplemente exigen que ningún resultado pueda producir una utilidad infinita. Para ver esto podemos tratar de hacer una prueba por contradicción - supongamos que hay una apuesta wehere: $x = 1€$ , $y=100€$ y $z= \infty €$ y que $u(X)=x$ . En este caso claramente $z \succ y \succ x$ pero no hay $p$ para la que se cumple el axioma de continuidad. Dado que el axioma de continuidad sería violado, nuestros axiomas básicos de lo que es la racionalidad no se sostendrían y una persona con utilidad ilimitada dejaría de ser racional (en el contexto del marco de von Neumann y Morgenstern).