¿Por qué las probabilidades neutrales al riesgo son constantes en el modelo de Cox Rubinstein cuando la delta debe cambiarse en cada paso de tiempo?

Question

Consideremos el modelo de fijación de precios binomial de Cox Rubinstein con N pasos, con la variación del precio de las acciones dada por los parámetros u y d de manera que en el paso $i$ tenemos $S_{i+1} = uS_{i}$ o $S_{i+1} = dS_{i}$ con $0\leq i \leq N$ . Sea $r$ sea el tipo libre de riesgo. Como es habitual, supongamos que tenemos un instrumento de efectivo que crece a la tasa libre de riesgo, y asumiendo la condición de no arbitraje tenemos que el precio de una opción de compra se da como $C$ = $\sum_{i=0}^{N}$ $N\choose i$ $\max(S_0 q^{i}(1-q)^{N-i}u^{i}d^{N-i} -K,0)\frac{1}{r^N}$ , donde $K$ es el strike de la opción, $q$ es la probabilidad neutral al riesgo y $S_0$ es el precio inicial de las acciones.

Para mí, lo anterior implica que en cada rama del árbol tiene la misma probabilidad (neutral al riesgo) de $q$ o $q-1$ . Al calcular el valor de $q$ sin embargo, si utilizamos un argumento replicante vemos que $q$ corresponde a la cobertura delta? Tenía entendido que esta cobertura debía ajustarse en cada paso de tiempo, pero esto es incoherente con lo anterior. Claramente creo que me estoy perdiendo algo aquí - ¿es porque estoy asumiendo una tasa libre de riesgo constante en todo momento? Gracias por su ayuda.

Answer 1

$q$ no es una cobertura delta. $q$ se determina a partir del hecho de que $S_i$ es una martingala, es decir, para $S_0$

$S_0=E(S_1)=quS_0+(1-q)dS_0$ (si no hay tarifas)

Esta ecuación da la misma $q$ , que sólo depende de $u$ y $d$ si se calcula para $S_0$ , $S_1$ etc., por lo tanto $q$ es el mismo para todos los pasos.