Cómo utilizar el teorema de Girsanov para demostrar $\hat{W_t}$ es un $\hat{\mathbb P}$ -¿Movimiento Browniano?

Question

Dejemos que $T > 0$ y que $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad filtrado donde $\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$ (medida neutral de riesgo) y $\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$ donde $W = \tilde{W} = (\tilde{W_t})_{t \in [0,T]} = ({W_t})_{t \in [0,T]}$ es estándar $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$ -Movimiento browniano.

Definir la medida de avance $\hat{\mathbb P}$ :

$$A_T := \frac{d \hat{\mathbb P}}{d \mathbb P} = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

Se puede demostrar que $\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)$ es un $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$ martingala donde $r_t$ es un proceso de tasa corta y $P(t,T)$ es el precio del bono.

Se nos da que

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \zeta_t dW_t$$

donde $r_t$ y $\zeta_t$ son $\mathscr F_t$ -adaptado y $\zeta_t$ satisface la condición de Novikov. No creo que $\zeta_t$ se supone que representa algo en particular.

Definir el proceso estocástico $\hat{W} = (\hat{W_t})_{t\in[0,T]}$ s.t.

$$\hat{W_t} := W_t + \int_0^t -\zeta_s ds$$

Utilice el Teorema de Girsanov para demostrar $\hat{W_t}$ es estándar $\hat{\mathbb P}$ -Movimiento browniano.

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Lo que he probado:

Desde $\zeta_t$ satisface la condición de Novikov, $\int_0^T -\zeta_t dt < \infty$ a.s. y

$$L_t := \exp(-\int_0^t (-\zeta_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \zeta_s^2 ds)$$

es un $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$ martingala.

Por el teorema de Girsanov, $\hat{W_t}$ es estándar $\mathbb P^{*}$ -Movimiento Browniano donde

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} = L_T$$

Supongo que tenemos eso $\hat{W_t}$ es estándar $\hat{\mathbb P}$ -Movimiento Browniano si podemos demostrar que

$$L_T = \frac{d \hat{\mathbb P}}{d \mathbb P}$$

Creo que pude demostrar (perdí mis notas) que $dL_t = L_t \zeta_t dW_t$ , $dA_t = A_t \zeta_t dW_t$ y luego $d(\ln L_t) = d(\ln A_t)$

Desde $d(\ln L_t) = d(\ln A_t)$ deduzco que $L_t = A_t$ y por lo tanto $L_T = A_T$ QED.

¿Es eso cierto?

Answer 1

Tus anotaciones son realmente difíciles de seguir ya que defines $\mathbb{P}$ dos veces al principio. La notación $\mathbb{P} = \mathbb{\hat{P}}$ y $\mathbb{P} =\mathbb{\tilde{P}}$ no tiene sentido ya que la medida de probabilidad $\mathbb{P}$ ya está fijada y se utiliza para la medida de probabilidad del mundo real. Creo que esta es la razón por la que te confundes.

Aquí está la solución. Estoy utilizando las notaciones estándar aquí. En $\mathbb{Q}$ la probabilidad neutral al riesgo $$\frac{d P_{tT}}{P_{tT}} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

Ahora considere el proceso $\displaystyle Z_t = \exp(-\int_{0}^t r_s ds)\frac{P_{tT}}{P_{0T}}$ . Tenga en cuenta que con su notación $Z_T = A_T$ ya que $P_{TT} = 1$ .

Si mostramos que es un $Z_t$ es un $\mathbb{Q}$ -martingale, con $Z_0 = 1$ entonces podemos aplicar un cambio de medida para definir $\mathbb{Q}_{T}$ la medida de avance, como $$\mathbb{Q}_{T}(B) = \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}(Z_T \cdot I_{B}),$$ para $B \in \mathcal{F}_T$ . Entonces, por el teorema de Girsanov, $\hat{W}_t = W_t -\int_0^t \xi_s ds$ es un B.M bajo $\mathbb{Q}_T$ . Nótese el signo menos y no el signo más como en la pregunta.

Prueba de que $Z_t$ es una martingala con $Z_0 = 1$ : El hecho de que $Z_0 = 1$ está claro. Para la propiedad martingala, tenemos que a partir de la dinámica de $P_{tT}$ en $\mathbb{Q}$ , \begin{align*} d(\exp(-\int_{0}^t r_s ds)P_{tT}) = \exp(-\int_{0}^t r_s ds)P_{tT} \xi_t dW_t \end{align*} Por lo tanto, $dZ_t = Z_t \xi_t dW_t$ o, de forma equivalente, tomando el logaritmo y aplicando la fórmula de Ito, $$Z_t = \exp\left( \int_{0}^{t} \xi_s dW_s - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \xi^2_s ds\right)$$ Tenga en cuenta que aquí $Z_t = L_t$ . Como nos dicen que verifica la condición de Novikov, esto asegura que es una martingala y que podemos aplicar Girsanov.