Esta propuesta es en general no es cierto . Se puede demostrar que es cierto en el caso $n=2$ y $m=2$ . Aquí expongo un contraejemplo cuando $n=3$ y $m=2$ .
Un breve comentario. Podemos reformular la pregunta en palabras: ¿un equilibrio de Nash que es "más aleatorio" ( $e'$ frente a $e$ ) es menos eficiente? Intuitivamente, a medida que se juegan más estrategias mixtas, el resultado realizado es más aleatorio y puede ser muy ineficiente debido a la falta de coordinación entre los agentes. Cuando los agentes juegan estrategias puras, podemos pensar que reducimos el problema de la coordinación dado que consideramos los equilibrios de Nash. Esta intuición no es válida si la proposición es falsa, como demostraré cuando $n=3$ y $m=2$ .
Denote $A$ y $B$ las dos acciones posibles. Las funciones de retardo se definen como sigue: $d_A(1)=5$ , $d_A(2)=7$ , $d_A(3)=10$ y $d_B(1)=1$ , $d_B(2)=6$ , $d_B(3)=7$ . Esto significa que cuando $x$ los agentes juegan $A$ (resp. $B$ ), reciben la recompensa $-d_A(x)$ (resp. $-d_B(x)$ ). Se trata de un juego de congestión (simétrico) siempre que las funciones de retraso sean crecientes.
Definir $e$ como el equilibrio cuando 1 agente juega $A$ y 2 agentes juegan $B$ . Definir $e'$ como el equilibrio cuando 1 agente juega siempre $B$ y las otras 2 obras $A$ con probabilidad $\mu=2/3$ y $B$ con probabilidad $1-\mu=1/3$ . Cumple la propiedad $sup(e) \subseteq sup(e')$ .
En primer lugar, demostramos que $e$ es un equilibrio de Nash. El agente que juega $A$ está maximizando su ganancia dada la estrategia de los otros dos jugadores al elegir $A$ es mejor que elegir $B$ , $d_A(1)<d_B(3)$ (es decir $5<7$ ). Los dos agentes que juegan $B$ están jugando de forma óptima si $d_B(2)<d_A(2)$ (es decir $6<7$ ). $e$ es por tanto un equilibrio de Nash y su coste social es $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$ .
En segundo lugar, demostramos que $e'$ es un equilibrio de Nash. Por un lado, el agente que juega $B$ está maximizando su ganancia cuando los otros dos juegan una estrategia mixta si es mejor que juegue $B$ que $A$ , $$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$$ es decir $\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$ lo cual es cierto. Por otro lado, cada uno de los agentes que juegan la estrategia mixta es indiferente entre elegir $A$ o $B$ si $$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$$ es decir $\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$ . $e'$ es entonces un equilibrio de Nash y su coste social es $$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$$ que es igual a $\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$ .
Por último, hemos demostrado que $sup(e) \subseteq sup(e')$ pero $SC(e) > SC(e')$ . El equilibrio de Nash de estrategia mixta tiene un coste social menor que el de estrategia pura.
