Ecuación diferencial que implica el precio del bono y el tipo de interés a plazo

Question

Dado el tipo de interés a plazo f(t,T) y el precio del bono P(t,T) donde

$f(t,T) = - \frac{\partial}{\partial T} \ln P(t,T)$ ,

$P(T,T) = 1 = P(t,t)$ ,

T>0 y

$t \in [0,T]$

¿Se deduce que $P(t,T) = exp(-\int_{t}^{T} f(t,u) du)$ ?

Mi profesor da un argumento que sugiere que es así, pero una forma diferente que intenté sugirió el en lugar tenemos $P(t,T) = \pm exp(-\int_{t}^{T} f(t,u) du)$ . ¿Quién tiene razón? ¿Cuál es el fallo en el razonamiento del equivocado?

De mi profesor:

$f(t,u) = - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u)$

$\int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$

$\int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$

$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln P(t,T) - \ln P(t,t)$

$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln P(t,T)$

$e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = P(t,T)$

QED

La mía:

$f(t,u) = - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u)$

$\int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$

$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = - \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$

$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$

$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} \frac{\partial}{\partial u} P(t,u) / P(t,u) du$

Dejemos que

$v = P(t,u)$

$dv = \frac{\partial}{\partial u} P(t,u)$

$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln |P(t,u)/ P(t,t)|$

$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln |P(t,u)|$

$e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = |P(t,u)|$

$\pm e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = P(t,u)$

QED

P.D. se supone que podemos intercambiar integral y derivada (si es que es relevante).

Answer 1

La solución negativa no satisface $P(T,T)=P(t,t)=1$