Dado el tipo de interés a plazo f(t,T) y el precio del bono P(t,T) donde
$f(t,T) = - \frac{\partial}{\partial T} \ln P(t,T)$ ,
$P(T,T) = 1 = P(t,t)$ ,
T>0 y
$t \in [0,T]$
¿Se deduce que $P(t,T) = exp(-\int_{t}^{T} f(t,u) du)$ ?
Mi profesor da un argumento que sugiere que es así, pero una forma diferente que intenté sugirió el en lugar tenemos $P(t,T) = \pm exp(-\int_{t}^{T} f(t,u) du)$ . ¿Quién tiene razón? ¿Cuál es el fallo en el razonamiento del equivocado?
De mi profesor:
$f(t,u) = - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u)$
$\int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$
$\int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$
$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln P(t,T) - \ln P(t,t)$
$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln P(t,T)$
$e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = P(t,T)$
QED
La mía:
$f(t,u) = - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u)$
$\int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$
$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = - \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$
$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du$
$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} \frac{\partial}{\partial u} P(t,u) / P(t,u) du$
Dejemos que
$v = P(t,u)$
$dv = \frac{\partial}{\partial u} P(t,u)$
$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln |P(t,u)/ P(t,t)|$
$- \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln |P(t,u)|$
$e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = |P(t,u)|$
$\pm e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = P(t,u)$
QED
P.D. se supone que podemos intercambiar integral y derivada (si es que es relevante).
